Relatividad especial y E=mc2E=mc2E = mc^2

leí en alguna parte que$E=mc^2$muestra que si algo viajara más rápido que la velocidad de la luz, entonces tendría una masa infinita y habría usado una energía infinita.

No, no es cierto. Por un par de razones, pero primero, déjame explicarte qué$E = mc^2$significa en la física moderna.

La ecuacion$E = mc^2$en sí solo se aplica a un objeto que está en reposo, es decir, que no se mueve. Para objetos que se mueven, hay una forma más general de la ecuación,

$$E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4$$

($p$es el impulso), pero con un poco de álgebra puedes convertir esto en

$$E = \gamma mc^2$$

dónde$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. este factor$\gamma$, a veces llamado factor de dilatación relativista, es un número que depende de la velocidad. comienza en$\gamma = 1$cuando$v = 0$, y aumenta con el aumento de la velocidad. como la velocidad$v$se acerca más y más a$c$,$\gamma$se acerca al infinito. Armados con este conocimiento, algunas personas miran la fórmula$E = \gamma mc^2$y decir que, claramente, si un objeto masivo llegara a alcanzar la velocidad de la luz, entonces$\gamma$sería infinito, por lo que la energía del objeto sería infinita. Pero eso no es realmente cierto; la interpretación correcta es que es imposible que un objeto masivo viaje a la velocidad de la luz. (Hay otras formas, matemáticamente más complicadas pero más convincentes, de demostrar esto).

Para colmo, hay un concepto obsoleto llamado "masa relativista" que se involucra en esto. En los primeros días de la relatividad, la gente escribía la famosa fórmula de Einstein como$E = m_0 c^2$para un objeto en reposo, y$E = m_\text{rel}c^2$para un objeto en movimiento, donde$m_\text{rel} = \gamma m_0$. (El$m$que escribí en los párrafos anteriores corresponde a$m_0$en este párrafo.) Esta cantidad$m_\text{rel}$era la masa relativista, una propiedad que aumenta a medida que un objeto se acelera. Entonces, si pensaras que un objeto tendría una energía infinita si se moviera a la velocidad de la luz, entonces también pensarías que su masa relativista se volvería infinita si se moviera a la velocidad de la luz.

A menudo, la gente se volvía perezosa y se olvidaba de escribir el subíndice "rel", lo que hacía que mucha gente mezclara los dos tipos diferentes de masa. Entonces, a partir de eso, obtendría declaraciones como "un objeto que se mueve a la velocidad de la luz tiene una masa infinita" (sin aclarar que la masa relativista era a la que se referían). Después de un tiempo, los físicos se dieron cuenta de que la masa relativista era en realidad otro nombre para la energía, ya que siempre son proporcionales ($E = m_\text{rel}c^2$), por lo que eliminamos por completo la idea de masa relativista. En estos días, "masa" o$m$solo significa masa en reposo, y así$E = mc^2$se aplica sólo a los objetos en reposo. Tienes que usar una de las fórmulas más generales si quieres tratar con un objeto en movimiento.

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Ahora, con eso fuera del camino: desafortunadamente, el pasaje que ha citado del libro de Hawking usa la vieja convención, donde "masa" se refiere a la masa relativista. La "equivalencia de energía y masa" que menciona es una equivalencia de energía y masa relativista, expresada por la ecuación$E = m_\text{rel}c^2$. Bajo este conjunto de definiciones, es cierto que un objeto que se aproxima a la velocidad de la luz tendría su masa (relativista) cercana al infinito (es decir, aumentaría sin límite). Técnicamente, no está mal, porque Hawking está usando el concepto correctamente, pero está fuera de línea con la forma en que hacemos las cosas en física en estos días.

Sin embargo, con el uso moderno, podría reformular ese párrafo de la siguiente manera:

Debido a que la energía contribuye a la inercia de un objeto (resistencia a la aceleración), agregar una cantidad fija de energía tiene un efecto menor a medida que el objeto se mueve más rápido. Este efecto solo es significativo para los objetos que se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Al 10 por ciento de la velocidad de la luz, se necesita solo un 0,5 por ciento más de energía de lo normal para lograr un cambio dado en la velocidad, pero al 90 por ciento de la velocidad de la luz se necesitaría el doble de energía para producir el mismo cambio. . A medida que un objeto se acerca a la velocidad de la luz, su inercia aumenta cada vez más rápidamente, por lo que se necesita más y más energía para acelerarlo en cantidades cada vez más pequeñas. Por lo tanto, no puede alcanzar la velocidad de la luz porque se necesitaría una cantidad infinita de energía para llegar allí.

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Descargo de responsabilidad: todo lo que he dicho aquí se aplica a una partícula u objeto fundamental que se mueve en línea recta. Cuando comienzas a considerar partículas con componentes que pueden moverse entre sí, la idea de masa relativista regresa... más o menos. Pero esa es otra historia.

Atribuiría la restricción sobre la velocidad a la que los objetos pueden viajar más a uno de los dos postulados que usó Einstein para derivar$E=mc^2$.

Ojalá la derivación original de Einstein de$E=mc^2$se enseñaba en las escuelas! Es un trabajo increíble si lo analizas en detalle. Pero también es críptico, salta muy rápidamente a través de ideas que aparentemente parecían bastante "obvias" para Einstein, pero que están lejos de serlo para el resto de nosotros.

En cualquier caso, lo derivó en el transcurso de dos artículos. El primero definió la teoría de la relatividad especial, mientras que el segundo y muy breve derivó su famosa ecuación. Originalmente usaba$L$para$E$, y Einstein nunca lo escribió del todo de la forma en que estamos acostumbrados a verlo.

Su primer artículo comenzó con dos postulados simples, que son:

(1) No hay prueba de cambios mecánicos u ópticos cuando se está moviendo sin aceleración, y

(2) La velocidad de la luz siempre es constante cuando se mide desde un marco móvil de este tipo.

Sorprendentemente, eso es todo lo que se necesita.[1]

Ahora, si quieres señalar con el dedo exactamente dónde surge la idea de que no puedes viajar más rápido que la luz de la relatividad especial, señalaría el segundo de los postulados de Einstein: cada cuadro ve la misma velocidad de la luz.

Entonces, ¿por qué es eso importante? Imagínalo de esta manera: si la luz siempre debe viajar a$c$desde tu perspectiva, ¿qué sucede si lanzas un cohete capaz de viajar a casi$c$, y su cohete, a su vez, envía un pulso de luz por delante de sí mismo?

El cohete verá ese pulso viajando a$c$. Sin embargo, como la persona que lanzó el cohete, debes ver algo diferente, ya que de lo contrario, el haz de luz emitido por el cohete parecería viajar a casi$2c$, lo que violaría el segundo postulado de Einstein.

Entonces, el pulso de luz frente a la nave espacial necesariamente debe viajar a$c$desde su perspectiva también, y eso a su vez significa que la nave espacial siempre debe permanecer detrás de cualquier pulso de luz que pueda emitirse. Si dibujas eso en papel, obtienes este resultado peculiar de que, desde tu punto de vista, los objetos que se mueven cada vez más cerca de la velocidad de la luz deben permanecer siempre detrás de un haz de luz real, ya que cualquier otro resultado te permitiría ver la luz a pulso de luz moviéndose más rápido que$c$. Por lo tanto, los objetos terminan siendo "aplanados" contra la barrera representada por la velocidad de un haz de luz real.

Hay otras consecuencias de este aparente aplanamiento, que se denomina contracción de Lorentz, que no abordaré aquí. Incluyen el tiempo más lento y el aumento de la masa, los cuales se pueden derivar de los postulados simples originales que hizo Einstein.

Entonces, el resultado final: es más exacto culpar al supuesto postulado de Einstein de la velocidad de la luz constante por limitar los objetos materiales a viajar a una velocidad inferior a la de la luz, en lugar de culpar a$E=mc^2$. E históricamente, Einstein ni siquiera derivó la$E=mc^2$resultado hasta su segundo artículo de adición, que publicó después de que ya había mostrado las otras consecuencias de sus postulados.

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[1] En realidad, hay un interesante secreto menor enterrado en los postulados de Einstein: falta uno. Para garantizar una escala adecuada de los resultados, debe agregar el siguiente tercer postulado: si dos grupos de partículas divergen entre sí a una velocidad$s$a lo largo del eje$x$, el plano ortogonal definido por los dos ejes ortogonales restantes$y$y$z$debe permanecer invariable en escala entre los dos grupos de partículas. O mucho menos formalmente:$y$y$z$no cambies, aunque$x$Contratos de Lorentz.

Ese punto parece tan obvio que generalmente se asume o se trata como un resultado de los otros dos postulados. Sin embargo, realmente no puede derivarlo de los otros dos postulados, ya que es posible un número infinito de perfiles que cumplan con los dos primeros postulados si permite una escala variable de la$yz$avión. Lorentz se había dado cuenta de esto, pero sus pensamientos al respecto se olvidaron en gran medida después de los artículos de Einstein. En todo caso, al hablar de la contracción de Lorentz de$x$tiene sentido ser explícito sobre la invariancia (o falta de ella) de los dos ejes espaciales restantes.

esta ecuación está en reposo, al moverse la energía va como$E= \frac{m_{0}c^{2}}{(1- v^{2}/c^{2})^{1/2}}$

Así que si$v \ge c$y la energía debe ser real, entonces la masa debe ser puramente imaginaria.. :D