Relación entre un cambio en el invariante topológico y el cierre de la brecha

El principio básico es que, si hay una brecha distinta de cero, el estado fundamental varía continuamente con los parámetros del hamiltoniano. Por lo tanto, cualquier cantidad (como el número de Chern) que es un invariante topológico, es decir, no cambia bajo deformaciones continuas, solo puede cambiar en un punto del diagrama de fase en el que se cierra la brecha. (Lo que no quiere decir, por supuesto, que deba cambiar en ese punto).

Consideremos primero el caso fácil de un sistema de partículas que no interactúan en una red, con conservación del momento. Entonces, la teoría de la perturbación de primer orden nos permite evaluar la derivada de cualquier estado propio de una sola partícula con respecto a algún parámetro$s$del hamiltoniano:

$$\partial_s |i\rangle = \sum_{j \neq i} \frac{|j\rangle\langle j | \partial_s H | i \rangle}{E_j - E_i}.$$ La conservación del momento asegura que solo hay un número finito de términos en la suma y que corresponden a estados en diferentes bandas, por lo que si hay una brecha, de modo que $|E_j - E_i| > 0$para estados en diferentes bandas con el mismo impulso, vemos que $\partial_s |i\rangle$es finito; Lo que significa que $|i\rangle$varía continuamente. Por lo tanto, el número de Chern de una banda separada del resto del espectro por una brecha no puede cambiar ya que el hamiltoniano varía continuamente.

De manera mucho más general, podemos considerar un sistema de interacción arbitrario de muchos cuerpos, donde el estado fundamental está separado del resto del espectro por un espacio. Entonces uno debe ser un poco más cuidadoso con lo que quiere decir con el "estado fundamental que varía continuamente". Sin embargo, se puede probar un teorema (ver http://arxiv.org/abs/1004.3835 y referencias allí) que para cualquier camino continuo de hamiltonianos$H(s)$indexado por un parámetro$s$, tal que la brecha no se cierra para ningún$0 \leq s \leq 1$, entonces los estados fundamentales$|\Psi_0\rangle$y$|\Psi_1\rangle$de$H(0)$y$H(1)$están relacionados por una unidad local $U$, tal que$|\Psi_1 \rangle = U |\Psi_0 \rangle$. (Más generalmente, si hay un espacio de estados degenerados separados del resto del espectro por una brecha para$0 \leq s \leq 1$, entonces los estados fundamentales degenerados en$s=0$y$s=1$están relacionados por un unitario local). Consulte el documento vinculado para obtener la definición de unitario local, pero básicamente significa que$|\Psi_1\rangle$se puede construir a partir de$|\Psi_0\rangle$por operaciones locales en tiempo finito (sin escalar con el tamaño del sistema). Por lo tanto, si podemos encontrar una propiedad de un estado cuántico que sea invariante bajo unidades locales, entonces su valor en el estado fundamental solo puede cambiar en función de los parámetros del hamiltoniano si se cierra la brecha.

Para tomar solo un ejemplo: cuando se define en un toroide, el código tórico de Kitaev ( https://en.wikipedia.org/wiki/Toric_code ) tiene 4 estados básicos degenerados que son localmente indistinguibles ; es decir, difieren solo globalmente y no se pueden distinguir por el valor esperado de ningún observable local:$\langle \psi | \hat{o} | \psi \rangle = \langle \psi^{\prime} | \hat{o} | \psi^{\prime} \rangle$para dos estados fundamentales$|\psi\rangle$y$|\psi^{\prime}\rangle$y cualquier observable local$\hat{o}$. Esta propiedad es invariante bajo unitarios locales, porque si existe un unitario local$U$tal que$|\psi_1\rangle = U |\psi_0\rangle$y$|\psi_1^{\prime}\rangle = U |\psi_0^{\prime}\rangle$, entonces

$$\langle \psi_1 | \hat{o} | \psi_1 \rangle - \langle \psi^{\prime}_1 | \hat{o} | \psi^{\prime}_1 \rangle = \langle \psi_0 | U^{\dagger} \hat{o} U | \psi_0 \rangle - \langle \psi_0^{\prime} | U^{\dagger} \hat{o} U | \psi_0^{\prime} \rangle.$$ Se puede demostrar que si $U$es un unitario local entonces $U^{\dagger} \hat{o} U$es un observable local si y solo si $\hat{o}$es, por lo que se sigue que $|\psi^{\prime}_1\rangle$y $|\psi_1\rangle$son localmente indistinguibles si y sólo si $|\psi_0\rangle$y $|\psi^{\prime}_0\rangle$son localmente indistinguibles. Por lo tanto, la "degeneración topológica" cuádruple del código tórico no se puede eliminar ya que los parámetros del hamiltoniano se varían sin cerrar la brecha.