¿Qué representa físicamente el número de Chern?

Físicamente, me gusta verlo de la siguiente manera:

Estás viendo una evolución adiabática de un electrón confinado a alguna banda de energía.$n$. De alguna manera proyectas la presencia de otros estados en otras bandas.$m\neq n$. Aún así, estas bandas ignoradas afectan la dinámica de su estado adiabático.

Cuando otras bandas se acercan a la energía del estado propio adiabático, la curvatura de Berry aumenta. Si se alejan más, la curvatura de Berry disminuye.

¡Para una cierta intuición sobre el QHE, recomiendo la conferencia Nobel de Laughlin ! Para resumir (sigo vagamente el libro de Bohm sobre fases geométricas): la idea básica es considerar un gas de electrones bidimensional (2DEG) en un cilindro finito. Perpendicular al 2DEG tienes un campo magnético constante$B$. Imagina que cambiarías el flujo magnético a través del cilindro por$\delta\phi$. Esto cambia la energía del sistema en una cantidad

$$\delta U = I \delta \phi,$$

dónde$I$es la corriente azimutal inducida. Si enhebras este flujo de forma adiabática y eliges$\delta\phi$como el cuanto de flujo$h/e$, el sistema masivo vuelve a su estado inicial. Sin embargo, en este proceso la$z$-localización de los cambios de estados propios. Esto significa que si aplica un voltaje eléctrico$\delta V$a lo largo de esta dirección cambias la energía por

$$\delta U = n e \delta V,$$

dónde$n$es el número de electrones desplazados de un borde al otro. Combinando los dos resultados se ve que

$$\begin{align} \sigma &= \frac{I}{\delta V} = \frac{1}{\delta V} \frac{\delta U}{\delta \phi} = \frac{ n e}{\delta \phi} = \frac{n e^2}{\hbar}. \end{align}$$

Un tratamiento más riguroso de este argumento de agitar las manos se puede encontrar, por ejemplo , aquí .

Como saben, este número entero$n$es en realidad una invariante topológica de su estructura de banda electrónica. Podría ser fácil calcular el efecto Hall para 2DEG, como por ejemplo lo hicieron T. Ando et al. en 1975 (ver aquí ) antes del descubrimiento de von Klitzing del QHE! Sin embargo, esto deja muchas preguntas abiertas. Por ejemplo, ¿por qué el QHE es tan ridículamente preciso? Los experimentos de Von Klitzing revelaron una precisión muy alta.

Estas propiedades son aclaradas por la física de fases de Berry debido a su conexión con la teoría matemática de las clases de Chern .

El número de Chern te da información sobre la función de onda.

En la zona de Brillouin, pasamos de la dependencia espacial a la dependencia del momento para la función de onda.

A veces no podemos definir una función de onda para toda la zona de Brillouin.

Es solo que una sola función no cubrirá toda el área, por lo que tenemos que definir dos partes.

El número de Chern le dirá si este es el caso.

En primer lugar, la conexión entre la conductividad transversal y el promedio de la zona de Brillouin de la curvatura de Berry no es un "truco matemático", sino que se puede derivar utilizando la teoría de respuesta lineal: encontrará que los coeficientes de conductividad se dan en términos de la fórmula de Kubo . Esta fórmula solo involucra proyecciones y, por lo tanto, es invariante de calibre.

Si conecta la proyección a una sola banda aislada (es decir, no hay intersecciones con otras bandas), puede ver fácilmente que esto se reduce a la expresión ordinaria de la curvatura de Berry. Si tiene familias de bandas, por ejemplo, todas las bandas hasta la energía de Fermi (que se supone que se encuentra en un espacio), obtiene la traza sobre la curvatura de Berry multibanda.

No se están jugando trucos matemáticos aquí. El único hecho no obvio es que el promedio de la zona de Brillouin del número de Chern tiene necesariamente un valor entero. Para hacer eso, un enfoque es construir el paquete vectorial de Bloch asociado a la proyección de Fermi, y verá que la curvatura de Berry es, en un sentido matemático, la curvatura de este paquete vectorial de Bloch. Para una curvatura de Berry determinada, puede elegir localmente (!) una conexión: la conexión de Berry. Al igual que los potenciales vectoriales en el electromagnetismo, aquí debe elegir el calibre.

El número de Chern mide si existe una obstrucción para elegir un indicador global; esto es posible si y solo si el número de Chern es cero. La teoría de clasificación de paquetes de vectores te dice que el número de Chern es necesariamente un número entero. Esto puede ser matemáticamente abstracto, pero sin embargo, no hay magia involucrada.

Tenga en cuenta que ninguno de estos argumentos invoca "cambios adiabáticos en los parámetros". Encuentro esta elección de palabras engañosa y matemáticamente incorrecta. Lo que la gente describe cuando invoca "cambios adiabáticos en los parámetros" no es más que el transporte paralelo de vectores con la ayuda de una conexión.