Relación entre ondas de radio y fotones generados por una corriente clásica

En QED, el campo electromagnético (EM) y la materia cargada son entidades cuánticas. Esta respuesta usa un modelo semiclásico en su lugar, con un campo cuántico acoplado a una corriente clásica prescrita . Este es un modelo exactamente solucionable inspirado en QED. Como simplificación adicional, el campo cuántico será un campo escalar en lugar del campo EM. Por analogía, los cuantos de este campo escalar se llamarán "fotones".

En el contexto del campo EM cuántico libre (que no interactúa), la palabra "fotón" se usa normalmente para referirse a un cuanto de energía, y así es como estoy usando la palabra aquí. La corriente estará activa solo durante un intervalo de tiempo finito, y solo aplicaré la palabra "fotón" en los momentos en que la corriente no esté activa, de modo que el significado de "cuanto de energía" no sea ambiguo.

Para ayudar a limitar la longitud de esta publicación, se supone que está familiarizado con el QFT introductorio. La notación será similar a la utilizada en el capítulo 2 de An Introduction to Quantum Field Theory de Peskin y Schroeder .

---

El modelo y su solución exacta.

Se usará la imagen de Heisenberg, por lo que el vector de estado es independiente del tiempo, pero su significado físico aún cambia en el tiempo porque los observables sí lo hacen. La ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg es

$$\begin{equation} \partial_\mu\partial^\mu\phi(t,\mathbf{x}) = J(t,\mathbf{x}) \tag{1} \end{equation}$$ dónde$\phi$es el campo cuántico y donde$J$es una función prescrita que se llamará "corriente" por analogía con el caso EM. La relación de conmutación de igual tiempo para el campo escalar cuántico es $$\begin{equation} \big[\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})\big]=i\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}). \tag{2} \end{equation}$$ El campo cuántico$\phi(t,\mathbf{x})$es el observable local correspondiente a las medidas de amplitud de campo.

Las ecuaciones (1)-(2) se pueden resolver exactamente. La solucion es

$$\begin{equation} \phi(t,\mathbf{x}) = \phi_0(t,\mathbf{x})+\phi_J(t,\mathbf{x}) \tag{3} \end{equation}$$ dónde:

• $\phi_J$es una solución de valor real para (1), que conmuta con todo;

• $\phi_0$es una solución valorada por operadores para el$J=0$versión de (1) que satisface la relación de conmutación (2).

De ahora en adelante, suponga que la corriente es distinta de cero solo dentro del intervalo de tiempo finito$0<t<T$:

$$\begin{equation} J(t,\mathbf{x})=0 \hskip1cm \text{ except for }0<t<T \tag{4} \end{equation}$$ y elige $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x})=0 \hskip1cm \text{ for }t\leq 0. \tag{5} \end{equation}$$ Todas estas condiciones son satisfechas por $$\begin{equation} \phi_0(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a_0(\mathbf{p})+e^{i\omega t}a_0^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{6} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x}) = \int ds\ \theta(t-s) \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, i\,\frac{e^{-i\omega (t-s)}-e^{i\omega (t-s)}}{2\omega}\, \tilde J(s,\mathbf{p}) \tag{7} \end{equation}$$ con $$\begin{equation} \omega\equiv \sqrt{\mathbf{p}^2} \hskip2cm \tilde J(s,\mathbf{p}) \equiv \int d^3x\ e^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\,J(s,\mathbf{x}), \tag{8} \end{equation}$$ y donde los operadores$a_0(\mathbf{p})$y sus adjuntos satisfacen $$\begin{equation} \big[a_0(\mathbf{p}),\,a_0^\dagger(\mathbf{p}')\big]=(2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{p}'). \tag{9} \end{equation}$$ los operadores$a_0$y$a_0^\dagger$son solo un conjunto básico de operadores en términos de los cuales se puede expresar todo lo demás en el álgebra de operadores. Definir un vector de estado$|0\rangle$por las condiciones $$\begin{equation} a_0(\mathbf{p})\,|0\rangle = 0 \hskip2cm \langle 0|0\rangle = 1 \tag{10} \end{equation}$$ para todos$\mathbf{p}$, y supongamos que el estado del sistema es el representado por$|0\rangle$. Aquí se utiliza la imagen de Heisenberg, por lo que el vector de estado no depende del tiempo, pero el estado físico que representa sigue cambiando en el tiempo porque los observables sí lo hacen.

El resto de esta respuesta aborda la interpretación del vector de estado (10) tanto para$t<0$y para$t>T$, primero en términos de fotones y luego en relación con las ondas de radio.

---

La interpretación en términos de fotones

La ecuación (5) dice que para$t<0$tenemos el familiar campo escalar libre y luego reconocemos el estado definido por (10) como el estado de vacío, el estado de energía más baja, sin fotones. Este, por supuesto, fue el motivo para elegir el estado (10).

La pregunta es qué pasa en$t > T$a raíz de la corriente temporal$J$. Para estos tiempos, la ecuación (4) dice que el factor$\theta(t-s)$puede omitirse en la ecuación (7), porque ya lo impone la propia corriente. Por lo tanto, para estos tiempos tardíos, la solución (3) puede escribirse

$$\begin{equation} \phi(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a(\mathbf{p})+e^{i\omega t}a^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{11} \end{equation}$$ con $$\begin{equation} a(\mathbf{p}) \equiv a_0(\mathbf{p}) + a_J(\mathbf{p}) \hskip2cm a_J(\mathbf{p}) \equiv \frac{i}{\sqrt{2\omega}}\int ds\ e^{i\omega s}\tilde J(s,\mathbf{p}). \tag{12} \end{equation}$$ La función de valor complejo$a_J$codifica el efecto de la corriente.

Antes de que podamos interpretar el estado (10) en términos de fotones a veces$t>T$, necesitamos determinar qué operadores representan operadores de creación/aniquilación de fotones en estos momentos. El hamiltoniano asociado con la ecuación de movimiento (1) es

$$\begin{equation} H(t) = \int d^3x\ \left(\frac{\dot\phi^2(t,\mathbf{x}) +(\nabla\phi(t,\mathbf{x}))^2}{2}-\phi(t,\mathbf{x}) J(t,\mathbf{x})\right). \tag{13} \end{equation}$$ Las ecuaciones (9) y (12) implican $$\begin{equation} \big[a(\mathbf{p}),\,a^\dagger(\mathbf{p}')\big] =(2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{p}'). \tag{14} \end{equation}$$ Cualquier momento para el cual$J=0$, las ecuaciones (11) y (13)-(14) implican $$\begin{align} H(t)= \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \omega\,a^\dagger(\mathbf{p})a(\mathbf{p}) +h(t) \tag{15} \end{align}$$ dónde$h(t)$es una función de valor real que no afecta este análisis. Cuando sea$J=0$, estas ecuaciones tienen todas la misma forma que en el caso de campo libre (donde$J$es cero para todos los tiempos). En base a esto, podemos interpretar$a(\mathbf{p})$y su adjunto como los operadores que aniquilan y crean (respectivamente) un fotón con el momento indicado a veces$t>T$. La justificación de esta interpretación es idéntica a la correspondiente justificación de$a_0$a veces$t<0$.

Ahora que sabemos qué operadores crean y aniquilan fotones en$t>T$, podemos interpretar el estado$|0\rangle$en estos tiempos Las ecuaciones (10) y (12) implican

$$\begin{equation} a(\mathbf{p})\,|0\rangle = a_J(\mathbf{p})\,|0\rangle, \tag{16} \end{equation}$$ que es la ecuación definitoria de un estado coherente multimodo . El estado$|0\rangle$fue elegido porque representa el estado de vacío para$t<0$, pero la ecuación (16) dice que ya no es el estado de vacío con respecto a los observables en$t>T$. El estado de vacío en$t>T$está representado en su lugar por el vector de estado$|T\rangle$que satisface $$\begin{equation} a(\mathbf{p})\,|T\rangle = 0. \tag{17} \end{equation}$$ La ecuación (14) implica que la relación entre el estado coherente (16) y el estado de vacío (17) es $$\begin{equation} |0\rangle \propto \exp\big(A^\dagger \big)\,|T\rangle =|T\rangle + A^\dagger|T\rangle + \frac{1}{2!}(A^\dagger)^2|T\rangle + \frac{1}{3!}(A^\dagger)^3|T\rangle +\cdots \tag{18} \end{equation}$$ con $$\begin{equation} A^\dagger \equiv \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ a_J(\mathbf{p}) a^\dagger(\mathbf{p}). \tag{19} \end{equation}$$ En palabras, el estado a veces$t>T$es una superposición especial de diferentes números de fotones idénticos, todos con este mismo perfil descrito por la función de valores complejos$a_J(\mathbf{p})$.

---

La interpretación como una onda de radio

En cualquier momento$t$, las ecuaciones (3)-(10) implican

$$\begin{equation} \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})|0\rangle=\phi_J(t,\mathbf{x}) \tag{20} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})\phi(t,\mathbf{y})|0\rangle - \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})|0\rangle\, \langle 0|\phi(t,\mathbf{y})|0\rangle = \langle 0|\phi_0(t,\mathbf{x})\phi_0(t,\mathbf{y})|0\rangle. \tag{21} \end{equation}$$ La ecuación (20) dice que el valor esperado del campo cuántico se comporta como una onda clásica generada por la corriente$J(t,\mathbf{x})$. La ecuación (21) dice que las fluctuaciones en los resultados de las mediciones de amplitud de campo son tan pequeñas como lo serían en el vacío. si la corriente$J$es lo suficientemente grande para que el valor esperado (20) sea lo suficientemente grande, entonces la raíz cuadrada de (21) será insignificante en comparación con (20). En este caso, tenemos una onda clásica a todos los efectos prácticos. Al elegir la frecuencia de oscilación de la corriente, podemos convertirla en una onda de radio.

En conjunto, esto muestra que si comenzamos con el vacío en el momento$t<0$y encender una corriente durante el intervalo$0<t<T$, entonces el estado a veces$t>T$es un estado coherente de fotones, y el mismo estado también puede interpretarse como una onda efectivamente clásica.

---

Superposición clásica versus superposición cuántica

Tenga en cuenta que se obtiene una superposición clásica de dos ondas efectivamente clásicas al sumar los perfiles correspondientes de un solo fotón en el exponente de la ecuación (18), así:

$$\begin{equation} \exp\big(A_1^\dagger + A_2^\dagger\big)\,|T\rangle. \tag{22} \end{equation}$$ Esto se sigue del hecho de que tal superposición es producida por una corriente clásica de la forma$J=J_1+J_2$, dónde$J_1$y$J_2$pueden estar localizados en diferentes regiones del espacio (por ejemplo). Por el contrario, una superposición cuántica de dos ondas efectivamente clásicas tiene la forma $$\begin{equation} \exp\big(A_1^\dagger\big)\,|T\rangle + \exp\big(A_2^\dagger\big)\,|T\rangle. \tag{23} \end{equation}$$ En este estado, la ecuación (21) no se cumple; las fluctuaciones en los resultados de la medición de la amplitud del campo suelen ser tan grandes como el valor esperado, por lo que una superposición cuántica de dos ondas efectivamente clásicas no se parece en nada a una onda clásica.