problema de mecanica orbital

¿Qué significa realmente que dos cuerpos "orbiten alrededor de su centro de masa"? ¿Significa eso que los dos cuerpos se mueven en elipses, y el centro de masa es un foco de cada elipse?

También se le llama baricentro . Cualquier dos (o más) objetos en órbita uno alrededor del otro orbitan el baricentro. Cuando se trabaja con 2 objetos, el centro de masa es el baricentro. Creo que estás confundiendo el centro de masa de cada objeto con el centro de masa del sistema.

Supongamos que tenemos dos masas con vectores de velocidad inicial no colineales. Suponiendo que la única fuerza relevante es la atracción gravitacional entre las dos masas, ¿se sigue que los cuerpos giran alrededor de su centro de masa? En otras palabras, ¿bajo qué condiciones dos cuerpos giran alrededor de su centro de masa?

El objeto 2 siempre debe orbitar su centro de masa del sistema.

En cuanto a la solución de la pregunta, parece que no hay suficiente información proporcionada para determinar el período.

Agregado (corregido):
El período se puede encontrar en:$T=2\pi \sqrt {\frac{r^3}{G(M_1+M_2)}}$
Las masas son M y 3M y los radios de las órbitas son$\frac{1}{4}d + \frac{3}{4}d$.
Sustituyendo los valores da:
$T=2\pi \sqrt {\frac{d^3}{4GM}}$
$T=\pi \sqrt {\frac{d^3}{GM}}$
que es A.

He encontrado la respuesta a mi propia pregunta y he aclarado la confusión.

Primero recordemos:

1.Dos cuerpos que se mueven en el espacio solo bajo la influencia de la atracción gravitacional entre ellos se mueven en elipses, con el centro de masa del sistema en un foco de cada elipse. Esta es una afirmación muy no trivial, pero no la probaré aquí.

2. Dos cuerpos que giran alrededor de su centro de masa siempre son colineales con el centro de masa. De ello se deduce que la fuerza de atracción gravitatoria ejercida sobre cada cuerpo es una fuerza central (es decir, apunta hacia el centro de masa).

El enunciado del problema dice "los dos cuerpos están separados por una distancia$d$". La redacción es un poco ambigua, pero creo que lo que se quiere decir es "los dos cuerpos están separados por una distancia fija$d$a través de sus órbitas".

Así podemos suponer que los dos cuerpos se mueven en círculos concéntricos con centro en el centro de masa del sistema.

Ahora, es tentador aplicar aquí la Tercera Ley de Kepler a la órbita del cuerpo con masa$3M$(como lo hizo LDC3). Sin embargo, la derivación de la tercera ley de Kepler asume que la masa que proporciona la fuerza centrípeta sobre el cuerpo en órbita está a la misma distancia del cuerpo en órbita que la masa que proporciona la fuerza gravitacional. En otras palabras, la fuerza central ejercida sobre cada cuerpo no se origina en el centro de masa del sistema.

La forma correcta de proceder es notar la fuerza gravitacional sobre la masa.$3M$es$\frac{G(M)(3M)}{d^2}$pero la fuerza centrípeta es$\frac{(3M)v^2}{r}$dónde$r$es la distancia al centro de masa, que puede determinarse como$d/4$. Usando$v=\frac{2\pi r}{T}$con$T$el período, podemos igualar la fuerza centrípeta a la fuerza gravitacional y llegar a$T=\pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}}$. De hecho, esta es una opción de respuesta :).

Lo que hicimos esencialmente fue generalizar la Tercera Ley de Kepler (para órbitas circulares) al caso donde los cuerpos orbitan alrededor de su centro de masa. La Tercera Ley de Kepler asume que el cuerpo alrededor del cual estamos orbitando está fijo en el espacio.

Ahora me doy cuenta de que el problema es mucho más sutil de lo que pensaba anteriormente.