Relación de vector de onda en material no lineal

El objetivo del medio no lineal es crear armónicos más altos (aquí:$\omega_2 = 2\omega_1$), es decir, ondas con un múltiplo de la frecuencia de la onda inicial ($k_1,\omega_1$), que no desaparecen cuando finaliza el medio. ¡Esta última afirmación es esencial aquí! Pero volveré a eso más tarde.

Ahora, el campo eléctrico de la onda inicial ($k_1,\omega_1$) se puede describir como

$$E_1^{(\omega_1)}(z,t) = E_1 e^{i(k_1 z - \omega_1 t)} + c.c.,$$ dónde $E_1$representa la amplitud del campo, $z$la dirección de propagación, $t$el tiempo y $c.c.$el complejo conjugado.

La parte no lineal de la polarización que crea el segundo armónico dice

$$P_{NL}^{(2\omega_1)} = \epsilon_0 \chi^{(2)} E_1^2 e^{2i(k_1 z - \omega_1 t)} + c.c.,$$ dónde $\epsilon_0$es la permitibilidad en el vacío y $\chi^{(2)}$la susceptibilidad no lineal de segundo orden.

El campo eléctrico del segundo armónico es

$$E_2^{(2\omega_1)}(z,t) = E_2 e^{i(k_2 z - \omega_2 t)} + c.c.,$$ dónde $\omega_2 = 2\omega_1$.

Ahora, en cada punto$z$dentro del medio, la onda inicial produce otra onda que corre a$\omega_2 = 2 \omega_1$, ¡pero esto no implica que cada ola creada tenga la misma fase! Podría ser muy posible que dos olas diferentes corriendo a$\omega_2$tienen una diferencia de fase para que interfieran destructivamente. Para que la onda inicial se alimente constantemente a la misma segunda onda, tiene que propagarse a la misma velocidad (velocidad de fase$v_p$). Entonces

$$v_{p_1} = \frac{\omega_1}{k_1} = \frac{\omega_2}{k_2} = \frac{2\omega_1}{k_2} = v_{p_2},$$ lo que implica $k_2 = 2 k_1$o en otras palabras $\Delta k = k_2 - 2 k_1 = 0$. Esta es la condición de coincidencia de fase (felicitaciones a dominecf por señalar esto). Muestra que la dirección de la onda inicial y la creada son las mismas, ya que $k$suele ser un vector. Usando

$$k_2 = 2 k_1$$ $$\Leftrightarrow \frac{\omega_2}{c} n(\omega_2) = \frac{2\omega_1}{c} n(2\omega_1) = 2 \frac{\omega_1}{c} n(\omega_1)$$ $$\Leftrightarrow n(\omega_2) = n(\omega_1),$$ dónde $c$es la velocidad de la luz, está claro, que también coinciden los índices de refracción.

Cabe destacar que la condición de coincidencia de fase no siempre significa que las velocidades de fase de las ondas tengan que coincidir. La condición para la interferencia constructiva tiene que ser satisfecha, es decir$\Delta k = 0$.