Óptica no lineal como teoría de calibre

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Óptica no lineal como teoría de calibre

óptica
Física
teoría de calibre
óptica-cuántica
electromagnetismo
óptica no lineal

Roberto filtro

el enfoque ampliamente utilizado para la óptica no lineal es una expansión de Taylor del campo de desplazamiento dieléctrico $\mathbf{D} = \epsilon_0\cdot\mathbf{E} + \mathbf{P}$ en una representación de Fourier de la polarización $\mathbf{P}$ en términos de la susceptibilidad dieléctrica $\mathcal{X}$ :

$\mathbf{P} = \epsilon_0\cdot(\mathcal{X}^{(1)}(\mathbf{E}) + \mathcal{X}^{(2)}(\mathbf{E},\mathbf{E}) + \dots)$ .

Esta expansión ya no funciona si el campo de excitación tiene componentes cercanos a la resonancia del medio. Entonces, uno tiene que tener en cuenta toda la situación de la mecánica cuántica, por ejemplo, describiendo la interacción luz/materia mediante un hamiltoniano de dos niveles.

Pero este enfoque ciertamente no es el más general .

Formulaciones intrínsecamente no lineales de la electrodinámica

Entonces, ¿qué tipo de formulaciones no lineales de electrodinámica dadas en una formulación lagrangiana existen?

Un ansatz conocido es el modelo Born-Infeld como lo señaló Raskolnikov. Allí, la densidad lagrangiana está dada por

$\mathcal{L} = b^2\cdot \left[ \sqrt{-\det (g_{\mu \nu})} - \sqrt{-\det(g_{\mu \nu} + F_{\mu \nu}/b)} \right]$

y la teoría tiene algunas características interesantes como, por ejemplo, una densidad de energía máxima y su relación con los campos de calibre en la teoría de cuerdas. Pero como yo lo veo, este modelo es un modelo intrínsecamente no lineal para el propio campo de espacio libre y no es útil para describir la interacción no lineal de la materia.

Lo mismo vale para un ansatz de la forma

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \lambda\cdot\left( F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \right)^2$

propuesto por Mahzoon y Riazi . Por supuesto, describir el sistema en Quantum Electrodynamics es intrínsecamente no lineal y... en mi opinión, demasiado complicado para una descripción macroscópica de la óptica no lineal. La pregunta es: ¿podemos obtener una buena formulación de la teoría, digamos, como una teoría del campo medio a través de un Lagrangiano efectivo?

Creo que un ansatz adecuado podría ser

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}M^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$

dónde $M$ ahora da cuenta de la reacción de la materia y depende de una manera no lineal de $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ , decir

$M^{\mu\nu} = T^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}$

donde ahora $T$ es una función no lineal de la intensidad de campo y puede obedecer a ciertas simetrías. La ecuacion $T = T\left( F \right)$ sigue siendo desconocido y depende del material.

Métrica vs. $T$ Acercarse

Como señaló space_cadet , uno podría preguntarse por qué la no linealidad no se adapta mejor a la métrica en sí. Creo que esto es cuestión de gustos. Mi punto es que cambiar explícitamente la métrica podría implicar un espacio-tiempo no estacionario en el que una transformación de Fourier podría no estar bien definida . Podría ser totalmente suficiente tratar el espacio-tiempo como una variedad lorentziana.
Además, es posible que necesitemos una estructura de espacio-tiempo simple más adelante para explicar la interacción material desde la polarización. $\mathbf{P}$ depende de la respuesta de la materia generalmente en términos de una integración sobre el pasado, digamos

$\mathbf{P}(t) = \int_{-\infty}^{t}R\left[\mathbf{E}\right](\tau )d\tau$

con $R$ siendo alguna función de respuesta no lineal (al) relacionada con $T^{\mu\nu\alpha\beta}$ .

Ejemplos de $T$

Para ilustrar la idea de $T$ , Aquí hay unos ejemplos.
Por espacio libre , $T$ está dado por $T^{\mu\nu\alpha\beta} = g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}$ resultando en el lagrangiano de espacio libre $\mathcal{L} = -\frac{1}{4}T^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ El Lagrangiano de Mahzoon y Riazi puede ser reconstruido por
$T^{\mu\nu\alpha\beta} = \left( 1 + \lambda F^{\gamma\delta}F_{\gamma\delta} \right)\cdot g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}$ .
Uno podría ser capaz de derivar una no linealidad de Kerr usando este Lagrangiano.

Entonces, ¿alguien está familiarizado con una descripción de la óptica/electrodinámica no lineal en términos de una teoría del campo de calibre o algo similar a los pensamientos descritos aquí?

Gracias de antemano.

Sinceramente,

Roberto

Comentarios sobre el primer Bounty

Quiero agradecer a todos los que participaron activamente en la discusión, especialmente a Greg Graviton , Marek , Raskolnikov , space_cadet y Willie Wong . Estoy disfrutando de la discusión relacionada con esta pregunta y agradezco todas las buenas pistas que me dio. Decidí darle la recompensa a Willie ya que le dio al hilo una nueva dirección al presentarnos la variedad de materiales.
Por ahora, tengo que reconsiderar todas las ideas y espero poder hacer una nueva revisión de la pregunta que debería formularse de una manera más clara como está en este momento.
Entonces, gracias nuevamente por sus contribuciones y siéntase bienvenido a compartir nuevos conocimientos.

Marek

No estoy seguro de lo que quieres. QED es una teoría de calibre y te dice casi todo lo que quieras saber sobre la interacción de la luz con la materia. Pero supongo que este nivel de enfoque rara vez es útil. Por lo general, querrá trabajar con la dispersión de fotones en alguna red y eso es solo física de materia condensada. Como mínimo, algunos de mis amigos están trabajando en el campo de la óptica cuántica y ni siquiera necesitan saber teoría de campo (por no decir teoría de calibre). Por lo general, se ocupan solo de la ciencia material.

Roberto filtro

@Marek: gracias por tu comentario. Edité la pregunta y espero que aclare lo que estoy pidiendo. Por supuesto, cuando se trabaja con una teoría de este tipo, casi siempre puede olvidarse de su carácter de teoría de calibre. Lo que estoy buscando es una descripción teórica de calibre de la óptica no lineal, no estoy preguntando si esto facilitaría los cálculos :)

Marek

@Robert: gracias por la aclaración, pero todavía no estoy seguro de lo que quieres. acabas de transcribir

D

$\mathbf D$ y

H

$\mathbf H$ en términos de

M

$M$ pero esto no cambia la física en absoluto. ¿Está buscando un formalismo diferente (en el mismo espíritu que las ecuaciones de Maxwell se expresan mejor en términos de

d F = d^{2} A = 0

${\rm d}{\mathbf F} = {\rm d}^2{\mathbf A} = 0$ y

δ F = j

$\delta {\mathbf F} = {\mathbf j}$ )?

Roberto filtro

@Marek: Gracias nuevamente por su apreciado comentario. En efecto, desde el "

M

$M$ -formulación es equivalente a las ecuaciones de Maxwell, digamos

d F = 0

@Noldorin: Lo siento si te ofendí. Entregué el mensaje con una sonrisa esperando que vieras la parte divertida de toda la discusión. Realmente, nadie duda de tu segundo punto, pero espero que luego te disculpes por la parte entre paréntesis.

Noldorin

@Robert: No, era una broma (y un hecho), así que para nada.

Respuestas (4)

Óptica no lineal como teoría de calibre

No estoy seguro de lo que quieres. QED es una teoría de calibre y te dice casi todo lo que quieras saber sobre la interacción de la luz con la materia. Pero supongo que este nivel de enfoque rara vez es útil. Por lo general, querrá trabajar con la dispersión de fotones en alguna red y eso es solo física de materia condensada. Como mínimo, algunos de mis amigos están trabajando en el campo de la óptica cuántica y ni siquiera necesitan saber teoría de campo (por no decir teoría de calibre). Por lo general, se ocupan solo de la ciencia material.
@Marek: gracias por tu comentario. Edité la pregunta y espero que aclare lo que estoy pidiendo. Por supuesto, cuando se trabaja con una teoría de este tipo, casi siempre puede olvidarse de su carácter de teoría de calibre. Lo que estoy buscando es una descripción teórica de calibre de la óptica no lineal, no estoy preguntando si esto facilitaría los cálculos :)
@Robert: gracias por la aclaración, pero todavía no estoy seguro de lo que quieres. acabas de transcribir $\mathbf D$ y $\mathbf H$ en términos de $M$ pero esto no cambia la física en absoluto. ¿Está buscando un formalismo diferente (en el mismo espíritu que las ecuaciones de Maxwell se expresan mejor en términos de ${\rm d}{\mathbf F} = {\rm d}^2{\mathbf A} = 0$ y $\delta {\mathbf F} = {\mathbf j}$ )?
@Marek: Gracias nuevamente por su apreciado comentario. En efecto, desde el " $M$ -formulación es equivalente a las ecuaciones de Maxwell, digamos $dF=0$ $d*M=*\mathbf{j}$ , no hay nueva física. Entonces, una parte de mi pregunta podría ser: ¿podemos identificar una simetría en la materia lagrangiana que conduzca a los efectos conocidos de la óptica no lineal (Kerr, 2nd harm., ...)? Debo decir que de ninguna manera soy un experto en óptica no lineal o teoría de calibre, razón por la cual la pregunta podría no plantearse adecuadamente.
Mira, estás abordando esto de manera demasiado abstracta. Tal vez debería comenzar con un material específico con propiedades ópticas no lineales y ver cómo puede describirlo. Trate de hacer una ecuación de campo no lineal de calibre invariante para él. Si no puedes, no tiene mucho sentido romperte la cabeza por eso. Si puede, tiene una base para tratar de generalizar. Pero logrará muy poco si ni siquiera puede modelar el material no lineal más simple de esta manera.
Acabo de editar la palabra francesa y la alemana que usaste en tu texto. :) ("ansatz" se usa a veces en las pruebas de física en inglés, pero no muy a menudo, y muchos no lo entenderán).
@Noldorin: esta página de wikipedia no estará de acuerdo contigo. De hecho, cuando leo literatura matemática y física (tanto libros como artículos) me encuentro con esta palabra mucho más a menudo de lo que me gustaría :-) Por cierto, ¿cuál es el término correcto en inglés?
@Raskolnikov: Gracias por la sugerencia, este parece ser un buen punto de partida.
@Marek: como dice el artículo de Wikipedia, "enfoque" o "configuración" o "punto de partida" son buenos equivalentes aproximados en inglés. Estoy seguro de que es muy consciente de que los artículos de Wikipedia con demasiada frecuencia incluyen declaraciones terriblemente incorrectas/infundadas; espero que tome mi observación como hablante/lector de inglés. :) De hecho, realmente no veo el propósito de usar palabras extranjeras en documentos donde hay un equivalente nativo perfectamente bueno. (Sin embargo, en el caso del muy raro 'intraducible', es bastante justo).
Ansatz está bien, uno podría sustituirlo por la palabra postulado, o adivinar como sugiere wikipedia. En su artículo 2D Ising, Onsager usó "eigenwert" para el valor propio. En realidad, una traducción aún mejor sería "valor adecuado". Hay muchas palabras alemanas que ingresaron a la ciencia, principalmente durante el período comprendido entre finales del siglo XIX y principios del XX. "Gedankenexperiment" es otro.
@Noldorin: ah, me perdí que esté escrito allí. De todos modos, esos términos no captan del todo de qué se trata ansatz. La conjetura de @ Raskolnikov está mucho más cerca. Pero eso suena demasiado aleatorio, mientras que ansatz suele ser el resultado de una percepción inteligente. Creo recordar que uno de mis maestros mencionó algo parecido a una "suposición fundamentada".
@Marek: Sí, el artículo de Wikipedia también sugiere eso. ;) Sin embargo, prefiero "aproximarme". En cualquier caso, la palabra parece estar perdiendo popularidad en inglés, lo cual es bueno.
@Raskolnikov: No diría mucho, ni mucho menos. Unos pocos elegidos, de hecho. En cualquier caso, hay más palabras latinas presentes en las matemáticas. En cualquier caso, como inglés, ¡no lo encuentro bienvenido! ("Valor propio" es uno que vale la pena mantener sin embargo.)
@Noldorin: je, probablemente debería comenzar a leer las referencias que proporciono :-) No sé, me gusta la palabra. En mi opinión, no hay una alternativa realmente buena.
Sí, tal vez no haya una traducción perfecta en inglés. Aún así, desconfío de agregar más jerga sin una muy buena razón. También estoy demasiado orgulloso del idioma inglés.
Hola chicos, podría notar que esto se está desviando un poco del tema aquí... sí, soy un chico alemán y me parece perfectamente bien usar las palabras en inglés (con ascendencia alemana) ansatz, bremsstrahlung, zitterbewegung, eigen * etc. en mis publicaciones :) ¿Por qué no debería? Noldorin, supongo que usas muchas más palabras de tu lengua materna en tus publicaciones que yo ;)
Bien dicho Roberto. El hecho de que el inglés se utilice para comunicar la investigación en física, en la actualidad . Hace unos cientos de años fue francés y luego alemán. Antes de eso era latín. Dentro de unos cientos de años, probablemente será una combinación de mandarín/cantonés e hindi.
@space_cadet: Efectivamente. Puede que ni siquiera tarde tanto...
@robert Estaba siendo conservador en mis estimaciones de tiempo :-)
@Robert: Por supuesto que puedes, ¡pero es posible que muchas personas no te entiendan! Ya aclaré mi punto; las palabras extranjeras están bien, pero en mi opinión solo deberían usarse cuando no hay un equivalente en inglés decente. Ni siquiera entiendo tu punto. Soy inglés, así que escribo en inglés.
@Noldorin: Gracias por su preocupación. Pero supongo que las personas que están acostumbradas a la literatura científica están familiarizadas con esas palabras. La ironía es que el idioma inglés no es la lengua materna de mucha gente aquí; Y en el primer momento en que se usa una palabra que no forma parte instantáneamente del vocabulario de un hablante nativo, se reemplaza. Realmente aprecio que hayas ayudado a aclarar las cosas, pero esta en realidad fue... bastante divertida :)
@Robert: Realmente no aprecio el sarcasmo. Lo crea o no, el inglés es la lingua franca de hoy, en la ciencia y en otros lugares. (Qué vergüenza perdieron los nazis, ¿eh?) Y sí, dije eso solo para cumplir la ley de Godwin. Gracias.
@Noldorin: Lo siento si te ofendí. Entregué el mensaje con una sonrisa esperando que vieras la parte divertida de toda la discusión. Realmente, nadie duda de tu segundo punto, pero espero que luego te disculpes por la parte entre paréntesis.
@Robert: No, era una broma (y un hecho), así que para nada.

willie wong · Answer 1

Sólo unos pocos pensamientos al azar.

Hay algo importante en su observación de que el modelo de Born-Infeld es esencialmente un modelo de espacio libre. Es sabido por Boillat y Plebanski (por separado en 1970) que el modelo de Born-Infeld es el único modelo de electromagnetismo (como una conexión en un $U(1)$ paquete vectorial) que satisface las siguientes condiciones

Covarianza bajo transformaciones de Lorentz
Se reduce a la ecuación de Maxwell en el límite de intensidad de campo pequeño
$U(1)$ simetría de calibre
Densidad de energía integrable para una carga puntual
Sin birrefringencia (velocidad de la luz independiente de la polarización).

(El sistema lineal de Maxwell falla en la condición 4). (Consulte Michael Kiessling, "Teoría del campo electromagnético sin problemas de divergencia", J. Stat. Phys. (2004) doi: 10.1023/B: JOSS.0000037250.72634.2a para una exposición sobre esto y asuntos relacionados.)

Ahora, dado que está interesado en la óptica no lineal dentro de un material, en lugar de en el vacío, creo que las condiciones 1 y 5 se pueden descartar de manera segura. (Aunque es posible que desee mantener 5 como cuestión de rutina). La condición 4 es intuitivamente agradable, pero tal vez no demasiado importante, al menos no hasta que tenga en mente algunas teorías candidatas que desee distinguir. Condición 3 que debes mantener. La condición 2, por otro lado, realmente depende del tipo de material que tengas en mente.

En cualquier caso, una pequeña sugerencia: personalmente creo que es mejor, desde el primer momento, escribir su Lagrangiano propuesto como

L = T^{a b C d} F_{a b} F_{C d}

$L = T^{abcd} F_{ab}F_{cd}$

en vez de $M^{ab}F_{cd}$ . Creo que, en general, es preferible considerar las teorías de campo lagrangianas de dependencia al menos cuadrática de las variables de campo. Un término lineal puro me sugiere un potencial externo que no creo que deba incorporarse a la teoría.

Si desea algo como la condición 2, pero con una constante dieléctrica o similar, entonces debe tener eso $T^{abcd}$ admitir una expansión de Taylor que parezca algo así

T^{a b C d} = {\tilde{gramo}}^{a C} {\tilde{gramo}}^{b d} + O (| F |)

$T^{abcd} = \tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd} + O(|F|)$

dónde $\tilde{g}$ es alguna métrica efectiva para el material. Sin embargo, no tiene que insertar birrefringencia explícitamente: lo más probable es que sea genérico (lineal o no lineal) $T^{abcd}$ anote tendrá birrefringencia; es solo cuando tratas de descartarlo que traerás algunas restricciones.

Una cosa interesante es considerar lo que significa tener una noción análoga a la condición 1. En el caso del espacio libre, la condición 1 implica que el Lagrangiano solo debe ser una función del invariante de Lorentz. $B^2 - E^2$ (en unidades naturales) y del invariante pseudo-escalar $B\cdot E$ . En términos del tensor de Faraday, estos dos invariantes son $F^{ab}F_{ab}$ y $F^{ab}{}^*F_{ab}$ respectivamente, donde ${}^*$ denota el dual de Hodge. La determinación de la parte lineal de su teoría (de ondas electromagnéticas en un material) es esencialmente por lo que usará para reemplazar la condición 1. Si asume que su material es isotrópico y homogéneo, entonces algún tipo similar de invariantes escalares + pseudo-escalares es probablemente una buena apuesta.

@Willie Wong: Muchas gracias por su importante respuesta. Si entiendo su argumentación correctamente, es posible que no pueda encontrar otra formulación intrínsecamente no lineal que sea invariante de Lorentz. Teniendo algunos antecedentes relativistas, no me atrevería a abandonar esta condición. ¿Crees que tener algo como $g\times{U(1)}$ con un nuevo grupo proveniente de la interacción de la materia (tal vez en algún espíritu de la interacción electrodébil) ¿sería un enfoque mucho mejor? Sinceramente
@Robert: Bueno, la interacción de la materia brindará todo tipo de cosas nuevas, pero sospecho que la reacción inversa puede aproximarse en cierto sentido mediante no linealidades puras. Una cosa a tener en cuenta es lo siguiente: en realidad puede usar algún tipo de idea de la teoría del éter para romper la invariancia local de Lorentz al mantener la covarianza general para la teoría general. Es decir: si considera que su medio óptico es una especie de cuerpo elástico o fluido que evoluciona (posiblemente independientemente del campo EM en la aproximación lineal, excepto a través de la gravedad) en el espacio-tiempo, puede definir su "métrica óptica". $T$ mediante...
...propiedades del medio óptico. Por ejemplo, en el caso lineal, digamos con un cuerpo elástico relativista como material, puede construir $\tilde{g}$ del retroceso de la métrica de Riemann en la variedad material, más un factor proveniente de las líneas de universo de partículas. La teoría general será generalmente covariante, pero después de "arreglar" el medio óptico, se obtiene un fondo local que rompe la invariancia de Lorentz. Así que no me preocuparía demasiado por romper la Condición 1. Relajar las Condiciones 4 y 5 también da muchos, muchos otros Lagrangianos admisibles.
(Debo decir que lo anterior está inspirado en un trabajo reciente de Ted Jacobson sobre la teoría de Einstein-Aether, que creo que está algo relacionado con la gravedad de Horava).
@Willie: Muchas gracias por sus explicaciones adicionales. Tengo que admitir que la noción de una variedad material es nueva para mí. Siempre pensé en entidades definidas en un espacio-tiempo de fondo pero con $\tilde{g}$ como la métrica de esa variedad, uno podría básicamente eliminar la $T$ enfoque a favor de esta variedad de material curvo. Supongo que el ejemplo más simple sería la óptica de transformación con permitividad. $\epsilon$ como $\tilde{g}$ si no estoy del todo equivocado. No estoy seguro de lo que quiere decir con líneas de mundo de partículas en este sentido; (temporal -> luz) geodésicas tal vez?
@Roberto: ¡Ay! Resumen rápido de la elasticidad relativista. Tiempo espacial $(M,g)$ es $d+1$ dimensional. Colector de materiales $(N,h)$ es $d$ Riemann dimensional. El mapa de materiales $\Phi:M\to N$ funciona como la transformación Euleriana-Lagrangiana de la dinámica de fluidos. Asumimos que $d\Phi$ está en marcha y el kernel es similar al tiempo. Las líneas de palabras de partículas son las curvas. $\Phi^{-1}(p)$ para algunos $p\in N$ , denota, aproximadamente, la trayectoria en el espacio-tiempo de una partícula fluida/material. Para una introducción matemática, consulte Tahvildar-Zedah "Elastodinámica relativista y no relativista con pequeñas deformaciones de corte"...
... aquí . O dx.doi.org/10.1016/0393-0440(92)90028-Y de Kijowski y Magli. El resumen de Bobby Beig también es muy ameno. Ahora, si solo desea implementar un medio óptico no lineal, puede olvidarse del material subyacente (simplemente suponga que existe y tiene algunas propiedades) y escriba $\tilde{g}$ para satisfacer lo que quieres. El punto es que puedes justificar la ruptura de la simetría de Lorentz apelando a esta forma de pensamiento.
@Willie: Muchas gracias por las explicaciones y referencias. Recuerdo aproximadamente que tal variedad en realidad solo se usa para justificar el ansatz. Uno define las proyecciones y encuentra algo como $X_\perp = d\phi{(X)} - g(X,\xi)/(g(\xi ,\xi ))\xi$ por $\xi$ temporal y $\tilde{g}(X,Y) \equiv g(X_\perp ,Y_\perp)$ tal que todos los cálculos se realizan realmente en $M$ y todo se puede poner en $\phi$ . Esto parece ser un ansatz sofisticado, también lo agregaré a la pregunta si puedo formularlo con mis propias palabras. Mis mejores deseos

Raskolnikov · Answer 2

No lineal es una palabra de moda utilizada para cubrir cualquier cosa que no sea lineal. Dependiendo de qué tipo de no linealidad esté involucrada y, por lo tanto, qué tipo de material, podría haber una simetría u otra, o podría no haber simetría en absoluto. Por ejemplo, en los superconductores, la simetría de calibre se rompe y los fotones se comportan como si hubieran adquirido una masa. El resultado es que los campos magnéticos tienen una penetración limitada en el superconductor. Y creo que esto todavía se describe mediante ecuaciones lineales.

Conozco una teoría de calibre invariante que no es lineal, este modelo se llama modelo de Born-Infeld .

Muchas gracias por su respuesta. No conocía la teoría de la electrodinámica de Born-Infeld hasta ahora, pero parece muy interesante. También está señalando una cosa importante: diferentes materiales tendrán diferentes simetrías. Esto es exactamente lo que debería hacer que diferentes materiales obedezcan diferentes tipos de no linealidades si pueden describirse mediante una teoría de calibre. Por el momento, es posible que no nos centremos en cosas más complicadas como la ruptura de la simetría, si esto es conveniente para usted.

usuario346 · Answer 3

¡Has estado haciendo algunas preguntas muy interesantes! Aquí está mi opinión sobre este...

Usted dice esto sobre la acción de Born-Infeld:

Pero como yo lo veo, este modelo es un modelo intrínsecamente no lineal para el propio campo de espacio libre y no es útil para describir la interacción no lineal de la materia.

No estoy seguro exactamente de lo que quiere decir con el campo "espacio libre". Supongo que te refieres a $F_{\mu\nu}$ . Bueno, no hay ninguna razón por la que uno no pueda definir un $F_{\mu\nu}$ para ondas que se propagan de forma no lineal, dentro de un medio o en el vacío.

La interacción materia-luz se puede especificar (al menos en parte, si no en su totalidad) por la forma de $g_{\mu\nu}$ . Ahora tengan paciencia conmigo por un minuto. No me refiero a la métrica generada por algún tipo de asunto. La métrica en cuestión no satisface, a priori , las ecuaciones de Einstein. En cambio, es la métrica efectiva experimentada por los rayos de luz que se propagan dentro del material dado. Consulte estos excelentes artículos de Ulf Leonhardt y Thomas Philbin [1] , [2] para obtener más detalles sobre esta noción. En resumen, los componentes fuera de la diagonal $g_{ij}$ (dónde $(i,j \in \{1,2,3\}\,\, i \neq j)$ codificar el tensor de susceptibilidad y los componentes diagonales $g_{0i}$ determinar la mezcla entre los componentes eléctricos y magnéticos de la onda.

En cuanto a la densidad lagrangiana para la interacción materia-luz, postulas:

L_{i norte t} \propto {METRO}^{m v} F_{m v} = T^{m v α β} F_{α β} F_{m v}

$\mathcal{L}_{int} \propto M^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = T^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta} F_{\mu\nu}$

para espacio plano (o no mediano) $T^{\mu\nu\alpha\beta} = g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}$ , este término se reduce a $F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}$ ¡que no es más que el término de Maxwell! A primera vista, esto no nos da nada nuevo, a menos que adoptemos la ruta descrita anteriormente y usemos la métrica $g_{\mu\nu}$ para codificar las propiedades ópticas del medio.

Otra línea de pensamiento que explota esta noción de la métrica para permitir hablar de una analogía entre los procesos ópticos y el big-bang es el fenomenal trabajo de Igor Smolyaninov [3] . Este documento fue aceptado por PRL por cierto, por lo que no es nada despreciable.

Asumiendo que la línea de razonamiento anterior no tiene fallas fatales, y que uno puede codificar los efectos del medio en la métrica, parece que tanto la acción de Maxwell como la de Born-Infeld son perfectamente buenas candidatas de acciones invariantes de calibre para sus propósitos. .

                                Cheers,

Editar: redux de no linealidad

Como señaló @Raskolnikov, la identificación de los componentes $g_{ab}$ con las susceptibilidades ópticas de un material, no nos da un material no lineal . Para eso, debe tener una dependencia de las susceptibilidades en las propias intensidades de campo. Así que tienes un mecanismo de retroalimentación $\mathbf{g} \rightarrow \mathbf{F} \rightarrow \mathbf{g}$ y por lo tanto la no linealidad! Por lo tanto, en general, como @robert ha estado tratando de transmitirme sin éxito, $\mathbf{g}$ debe ser en general una función de $\mathbf{F}$ .

Pero luego comienzas a caminar peligrosamente cerca de la especulación de que de alguna manera la imagen final (para el caso completamente no lineal) podría ser de alguna manera relativista general. Esa es una idea muy tentadora, pero eso lo dejo para otro momento.

@space_cadet: ¡Gracias por tu amable respuesta! De alguna manera soy vagamente consciente de la óptica de transformación y su ansatz para interpretar $\epsilon$ como métrica. Por supuesto, esta es una dirección en la que uno podría tratar de poner la física. Sin embargo, no creo que pueda funcionar aquí ya que <a href=" math.stackexchange.com/questions/13902/… La transformación de Fourier solo tendrá sentido si uno tiene un campo de muerte temporal</a>. Esa fue la razón Traté de ponerlo en "T".
¡Ah, es bueno señalar que puede modelar no linealidades con una métrica efectiva! Esto me recuerda una conferencia que tuve sobre las variedades de Finsler . Si no recuerdo mal, se usan de manera similar con aplicaciones principales en geofísica para la propagación de todo tipo de ondas sísmicas (donde también hay ondas longitudinales; esto es quizás lo que quiere decir con $g_{\mu\nu} no necesariamente satisfactorio EFE, que sí requieren ondas transversales). Me pregunto si ese formalismo también se puede adaptar para el caso de Robert.
@Robert - kvf temporal ... ?? Lo estás complicando demasiado. Tiene un kvf temporal predeterminado. El medio por el que se propaga la luz presumiblemente se encuentra en una geometría de fondo que está cerca de ser plana a menos que su laboratorio esté en órbita alrededor de un objeto realmente masivo. El tvkf en este caso es la hora habitual del reloj. Al analizar estos problemas, es tentador quedar atrapado en la jerga. Uno debe evitar tales hábitos si es posible.
@Marek: debo mencionar la advertencia de que no sé cómo (o si) este enfoque puede funcionar para medios dispersivos, que constituyen una gran fracción de materiales no lineales. Sin embargo, funciona bien para materiales ópticamente anisotrópicos y aquellos con propiedades magnetoeléctricas .
@space_cadet: Gracias por tu comentario, tienes toda la razón, uno no debe hacer las cosas más complicadas de lo que son. Simplemente pensé que uno no debería tocar la métrica ya que, a diferencia de la óptica de transformación, necesitará la dependencia del tiempo del campo para la respuesta del material (por ejemplo, en términos de una convolución). Cambiar la métrica (por medio del material) podría implicar que una transformación de Fourier ya no es factible. A partir de esta argumentación, ¿puedes entender que me gustaría captar la dinámica en T aunque una descripción en g también podría funcionar?
También admito que el planteamiento del problema puede no ser muy claro, lo que dificulta captar la idea. Lamento que por ahora no pueda formularlo mejor.
@Robert, solo una nota: pierde la transformación de Fourier tan pronto como permite efectos no lineales. No es un gran secreto que las PDE no lineales son genuinamente difíciles y solo muy pocas de ellas han sido resueltas (mediante métodos como el par Lax y la dispersión inversa). Así que ahora estoy bastante confundido en cuanto a qué sentido de no lineal perteneces...
@space_cadet: Con TI significa el tensor T que depende de la intensidad de campo F. Llamé a esta dependencia dinámica ya que si no es lineal, las soluciones a $L = <M,F> = T(F,F)$ no sólo será estacionario, si esta es una nomenclatura conveniente.
T depende de F? ¿Cómo es eso? ¿No es T simplemente dado por $T^{abcd} = g^{ab} g^{cd}$ ? No $F^{ab}$ en esa expresión
@Marek: Gracias por tu pensamiento. Es perfectamente cierto que las PDE no lineales no pueden (generalmente) transformarse en ecuaciones algebraicas mediante una transformación de Fourier/Laplace. Pero creo que lo necesitaríamos de todos modos ya que $D = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$ donde ahora $P(t) = \int_{-\infty}^{t} Y(\mathbf{E})(\tau)d\tau$ con $Y$ siendo una función no lineal, relacionada con el tensor $T$ .
@space_cadet: Esta T que di explícitamente en la pregunta es solo un ejemplo de cómo se vería la interacción con el espacio libre. Entonces solo tenemos $T(F,F) = F\wedge \star F$ y reconstruimos el lagrangiano ordinario en el espacio libre. si ahora $T$ depende de $F$ en sí misma, la teoría es intrínsecamente no lineal. Espero que mi forma de explicar no sea demasiado confusa.
@raskolnikov: eso es lo que me temía. Lo mencioné tanto en un comentario anterior. esperaba que nadie mirara tan de cerca ;-) ahí va mi recompensa :(
@space_cadet: Puedo ver su punto, creo que es un problema que la formulación de la pregunta no sea muy clara. Tendré que pensar en cómo motivar la notación, tal vez calculando un ejemplo como sugería Raskolnikov. Podría ser capaz, por ejemplo, de derivar el efecto Kerr con $T^{\mu\nu\alpha\beta} = \left( 1 + \lambda F^{\gamma\delta}F_{\gamma\delta} \right)\cdot g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}$ .
@space_cadet: Gracias por la edición adicional. Quiero intentar transmitirte desde otra perspectiva :) El campo $F$ en el modelo estándar es intrínsecamente no lineal por el carácter no abeliano del grupo subyacente. De hecho, puede interpretarse como una curvatura. Pero no como una curvatura del espacio-tiempo, es una curvatura del haz de fibras. En esta teoría, el espacio-tiempo no cambia en absoluto, es solo un fondo de Minkowski y seguramente no veo ninguna razón para doblar el espacio-tiempo a través de efectos ópticos no lineales. Luego, tenemos GR como mencionaste y todo se vuelve messi (FT no definido, etc.).
@space_cadet: Solo para agregar: No soy yo, somos nosotros :) Hace algún tiempo pregunté si una página comunitaria puede escribir un artículo. Si hay algo en esta pregunta, podría valer la pena intentarlo.
@space_cadet: Ahora, con las explicaciones dadas por Willie, finalmente puedo ver su punto de usar una métrica reescalada. $\tilde{g}$ . Digamos que ambos teníamos razón pero hablando desde una perspectiva ligeramente diferente;) Incorporaré la idea a la pregunta si puedo expresarla con mis propias palabras. Saludos

Greg Gravitón · Answer 4

En un curso de teoría del campo de materia condensada, aprendí lo siguiente: microscópicamente , el Lagrangiano para el campo electromagnético se ve como se supone que debe hacerlo, acoplándose mínimamente a las coordenadas de las partículas.

L = \sum_{i} (\frac{metro}{2} ({pags}_{i} - \frac{mi}{C} A (r_{i}))^{2} - mi Φ (r_{i}) + \dots) .

$L = \sum_i\left( \frac m2 (p_i-\frac ec \mathbf A(r_i))^2 - e\Phi(r_i) + \dots \right) .$

Sin embargo, a nivel macroscópico , después de deshacerse de todos los grados de libertad de las partículas individuales a través del gran conjunto canónico, puede surgir un nuevo comportamiento. Es decir, el Lagrangiano efectivo para el campo electromagnético en el cuerpo puede verse muy diferente de uno lineal. Por ejemplo, la acción efectiva del campo electromagnético en un superconductor es

S_{efecto} [A] = \frac{β}{2} \int d^{3} r A^{⊥} (r) (- \frac{1}{m_{0}} \nabla^{2} + \frac{{norte}_{s}}{metro}) A^{⊥} (r)

$S_{\text{eff}}[\mathbf A] = \frac\beta2 \int d^3r \mathbf A^\perp(r) \left(-\frac 1{\mu_0}\nabla^2 + \frac {n_s}m \right)\mathbf A^\perp(r)$

dónde $\mu_0$ es la permeabilidad al vacío, $n_s$ la densidad del superfluido, $m$ la masa del electrón y $\mathbf A^\perp$ es la componente perpendicular del campo de norma, definida en el espacio de Fourier como $\mathbf A^\perp(q) = \mathbf A(q) - q(q\cdot \mathbf A(q))/q^2$ . La diferencia con la acción de vacío es el "término de masa" adicional $n_s/m$ , que provoca el efecto Meissner.

Supongo que preguntará por la forma más general que pueden tener tales acciones efectivas. No tengo una respuesta, pero no veo por qué debería existir una forma más general en primer lugar.

Hola @greg, eso no es lo que hace la pregunta. No hay ningún requisito para que la teoría no lineal en cuestión sea una teoría efectiva. También hay "formas generales" para acciones efectivas. Muchos hamiltonianos de modelos microscópicos diferentes podrían producir la misma teoría efectiva macroscópicamente, siempre que los hamiltonianos compartan las mismas simetrías. Esta propiedad se conoce como universalidad. Además, cualquier acción, efectiva o no, debe satisfacer los requisitos básicos de invariancia de calibre (o invariancia bajo transformaciones canónicas). Esto limita la forma posible de la acción de manera muy efectiva.
@Greg Graviton: Gracias por tu respuesta. ¿Puedo preguntarle si existe un guión de su curso en Internet? Creo que teniendo en mis manos la derivación de esta acción efectiva macroscópica, puedo darle a la pregunta una nueva dirección.
@space_cadet: Creo que la respuesta está bien. El problema es que mi pregunta no es muy específica y solo se basa en una idea vaga. De hecho, tendré que dedicarle más tiempo, lo cual lamentablemente no es tan fácil :)
@space_cadet: Pensé que Robert estaba preguntando sobre la óptica no lineal en la materia. La forma más general es por supuesto $L = f(\mathbf A,\Phi)$ con algo arbitrario $f$ eso es calibre invariante, pero eso no tiene sentido. Pero como observa, una clasificación más especializada de teorías efectivas comunes de acuerdo con los hamilcionianos microscópicos y sus simetrías sería una muy buena respuesta. Desafortunadamente, no estoy bien informado sobre eso.
@Robert: Me temo que no hay ningún guión disponible. Sin embargo, el curso siguió muy de cerca el libro de Altland, Simons . La acción efectiva de la que estoy hablando se da en la ecuación (6.39), capítulo 6.4. Tal vez puedas descargar una versión electrónica de la biblioteca de tu universidad o de algún otro lugar. Tenga en cuenta que no hubiera podido entender (ni siquiera un poco) el libro solo, tener un curso era necesario para mí.
@Greg: Gracias por la referencia explícita. Voy a ver si puedo seguir sus líneas :)

Óptica no lineal como teoría de calibre

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