Radiactividad y vida media

El proceso de desintegración radiactiva ocurre en cada instante en que existe la sustancia. La velocidad a la que ocurre la descomposición es proporcional al número de partículas activas en el instante dado. No es estroboscópico. Pero si resuelves la ecuación diferencial, obtendrás una buena aproximación de cuántas partículas radiactivas quedan después de cierto tiempo.

¿La mitad desaparece en el aire...?

¡Nota! No desaparece. Se convierte en otra cosa. Usted dio, como ejemplo, ⁹⁰ Sr. Cuando un átomo de ⁹⁰ Sr se desintegra, emite una partícula beta, y se convierte en un átomo de ⁹⁰ Y (Itrio) .

La emisión beta ocurre en un núcleo que tiene demasiados neutrones para ser estable. Uno de los neutrones se convierte espontáneamente; un protón, un electrón energético (también conocido como "partícula beta") y un antineutrino . Debido a que el núcleo ahora tiene un protón más que antes, el número atómico aumenta en uno.

^{El 90} Y tiene una vida media de solo unos pocos días, antes de que se desintegre (nuevamente por emisión beta) y se convierta en un átomo estable de ^{90 Zr (zirconio).}

https://en.wikipedia.org/wiki/Decay_chain

No, no lo hace. Se descompone a un ritmo que depende de su vida media. Como dijo @Jon Custer, es un proceso estadístico y los núcleos se descompondrán aleatoriamente en algún período. La tasa de decaimiento, decaimiento por unidad de tiempo viene dada por A=λN donde A es la tasa de decaimiento, λ = constante de decaimiento y N es el número de núcleos en la muestra.

Cuando hablamos de medio tiempo nos referimos a un conjunto de muchos átomos (cantidad macroscópica, es decir, del orden del número de Avogadro). Cada átomo tiene una probabilidad$p=\frac{1}{\tau}$a decaer por unidad de tiempo, mientras que el número promedio de átomos que no se han desintegrado viene dado por$N_0e^{-t/\tau}$, dónde$N_0$es la cantidad inicial de isótopos.

lo que realmente sucede

Realmente depende. Si tiene un valor moderado de tasa de decaimiento ($\sim 10^{10} \:\rm dps$), entonces la descomposición de múltiples partículas cada segundo es inevitable. Sin embargo, si el valor de la tasa de decaimiento es lo suficientemente pequeño ($\sim 2 \: \rm dps$), entonces es muy posible que encuentre un segundo en particular en el que ninguna de las partículas se descomponga. En los casos en que la tasa de decaimiento$≤1\:\rm dps$, es muy probable encontrar tales intervalos de tiempo.

¿Por que sucede?

La razón por la que es así es por la naturaleza mecánica cuántica de la desintegración nuclear. Realmente no se puede predecir si una determinada partícula se habrá desintegrado definitivamente en un tiempo determinado.$t$, debido a la naturaleza mecánica cuántica del proceso de desintegración nuclear. Sin embargo, la probabilidad de que la partícula se desintegre por un tiempo$t$aumenta a medida que pasa el tiempo$t$aumenta, por lo que eventualmente será muy probable que la partícula se desintegre. Sin embargo, dado que estamos tratando con probabilidades, nunca podemos estar seguros de que una partícula se desintegró.

Si te gusta la mecánica cuántica, también podrías saber que el estado de un núcleo es una superposición de decaimiento y no decaimiento. Y no puede saber si decayó hasta que colapsa su función de onda al hacer una medición y verificar si decayó. (ver la última sección para la continuación de esta línea de pensamiento)

¿Cómo es que escribimos una función continua que describe la descomposición?

La función que escribimos puede considerarse como "empírica" , o más apropiadamente, una aproximación a la realidad más que a la verdad absoluta. Por lo tanto, si tuviera que realizar un experimento de desintegración nuclear, es muy probable que encontrara medidas bastante cercanas (aunque no exactas) a la ecuación matemática de la desintegración nuclear:

Ahora, no importa cuántas veces repita el experimento, o qué tan preciso sea su procedimiento experimental, siempre obtendrá resultados más cercanos a la ecuación.$(1)$, pero nunca podrías hacer el experimento y obtener exactamente los mismos resultados que predice la ecuación. Y no, no es por los errores experimentales que podrían haberse deslizado, es por la naturaleza incierta y probabilística de la descomposición nuclear.

Interpretación de muchos mundos

^{Esta es una sección un poco fuera de lugar, por lo que no está estrictamente relacionada con la pregunta, pero vale la pena leerla :-)}

Ahora bien, si usted cree en la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica , entonces le fascinaría escuchar lo que predice durante la desintegración nuclear. Predice que nuestro universo se bifurca múltiples (millones de veces) durante el proceso de desintegración nuclear, siendo cada universo diferente. En otras palabras, siempre que haya dos posibilidades para un núcleo, decaer o no decaer, nuestro universo se ramifica en otros dos universos, donde en uno de los universos, el núcleo se ha decaído mientras que en el otro no. Y esto es cierto para todos los núcleos.

Esta línea de lógica implica un resultado extremadamente alucinante. Implica que podría haber un universo donde ninguna de las partículas se haya desintegrado en el primer segundo de desintegración nuclear (a pesar de que la desintegración nuclear tiene una tasa de$10^{10}\:\rm dps$). Al principio, esto suena irreal, lo que nos hace dudar de la interpretación de los muchos mundos.

Sin embargo, si pensamos más, podemos notar que la probabilidad de que estemos en tal universo es extremadamente baja (quiero decir extremadamente extremadamente baja). ¿Por qué? Porque cada vez que un universo se bifurca en dos nuevos universos, tenemos casi la misma probabilidad de estar en uno o en el otro. Pero para llegar a un universo donde ninguna partícula se haya desintegrado en el primer segundo, siempre tendrías que terminar en la versión "no decaída" del universo, cada vez, por$10^{10}$ramificaciones _ Y esto es extremadamente improbable , por lo que nunca nos encontraremos realizando un experimento de este tipo. Pero tenga en cuenta que si tuviéramos que realizar nuestro experimento$2^{10^{10}}$veces, podríamos tener la oportunidad de presenciar ese decaimiento "especial" en el que nada se descompone en el primer segundo.

El cartel puede estar preguntando si la desintegración radiactiva es un proceso continuo o discreto.

Es un proceso continuo. Para cualquier incremento dado en el tiempo, existe la probabilidad de que una cierta cantidad de material se descomponga. Esta probabilidad se denomina "constante de decaimiento" y generalmente se denota con el símbolo griego "$\lambda$".

En forma de ecuación diferencial, la "tasa de cambio" de la concentración de nucleidos es proporcional a la constante de decaimiento multiplicada por la concentración misma.

La constante de decaimiento no es una variable muy intuitiva ya que las unidades son "por tiempo". Por lo tanto, la constante de descomposición generalmente se convierte en una "vida media", que es más intuitiva de entender porque tiene unidades de tiempo. Puede usar las ecuaciones anteriores para mostrar que la vida media está relacionada con la constante de descomposición por la expresión

La confusión puede ser que la vida media tiene unidades de tiempo (por ejemplo, segundos), pero todavía se refiere a un proceso continuo.

Para comprender la desintegración radiactiva, debemos ver qué hay en el núcleo de un átomo y cómo interactúan sus partes.

Como sabrá, todos los núcleos, sin importar qué tipo de átomo (elemento), consisten en protones y neutrones ( nucleones ). Un protón es un cuerpo pesado con carga positiva, y un neutrón es apenas un poco más pesado que un protón y no tiene carga. Se puede pensar en el neutrón como un protón con un electrón (o, más exactamente, una partícula beta) unido a él por la fuerza nuclear débil.

Los protones de un núcleo se repelen entre sí muy fuertemente a través de la fuerza eléctrica de repulsión entre cuerpos con la misma carga. Sin embargo, la fuerza nuclear fuerte de atracción es mucho más fuerte que la fuerza eléctrica a distancias tan pequeñas, por lo que la fuerza nuclear fuerte supera la repulsión electrostática (Coulombio) y mantiene unidos a los protones y neutrones.

Esta unión da como resultado una bola de protones y neutrones (hasta cierto punto) que se mueven violentamente de un lado a otro dentro del núcleo, pero se mantienen unidos con la fuerza nuclear fuerte. A veces, la configuración (forma) del núcleo (o isótopo) siempre es energéticamente "estable" y nunca se romperá sin importar cuánto tiempo pase, como un globo de agua intacto (siempre y cuando no aparezca algo lo suficientemente fuerte). y romperlo). Otros núcleos (de un isótopo diferente), cada cierto tiempo en esta violenta vibración, asumen una forma que no puede ser retenida por la tensión volumétrica y superficial. Estos se denominan núcleos "inestables" o núcleos "radiactivos". Cuando esto sucede, una parte del núcleo, una partícula, se rompe. Esto se llama "desintegración" o "desintegración radiactiva". Cuando el núcleo se desintegra, no desaparece. Simplemente se rompe en múltiples pedazos.

No podemos decir, para cualquier núcleo "inestable" dado, exactamente cuándo asumirá una configuración que conducirá a la descomposición. Pero, si tenemos un gran número de núcleos (digamos,$N = 10^{23}$; alrededor del número de átomos cuando se acumulan que puede ver a simple vista) podemos decir aproximadamente que el número de núcleos en descomposición en el tiempo t, dN(t), debe ser proporcional al número de núcleos presentes en el tiempo t, N(t ). Además, podemos decir que dN(t) debe ser proporcional al tiempo que transcurre en una duración suficientemente pequeña, dt. Tenga en cuenta que en estas proporcionalidades N se considera continuo en lugar de discreto. Esta es una aproximación, o, en realidad, un error, ya que, por definición, no podemos tener realmente una fracción de una partícula radiactiva.

Continuando, no obstante, hemos dicho$dN \propto N dt$.

Reordenando e introduciendo una constante de proporcionalidad,$\lambda$(la "constante de decaimiento"), vemos

$\frac{dN(t)}{dt} = - \lambda N(t)$

El constante$\lambda$se considera positivo por definición, por lo que se introduce el negativo para captar que el cambio en el número de núcleos es negativo durante el período de tiempo dt.

Reordenando la ecuación da

$\frac{dN(t)}{N(t)} = -\lambda dt$

La solución a esta ecuación a través del cálculo básico es

$N(t) = N(t=0) e^{-\lambda t}$

De ahí viene la "e".

Ahora, su pregunta es "¿ocurre la descomposición cada segundo?" El problema es que la pregunta asume que hay una respuesta de sí o no. Además, es útil para explicar la vida media.

La vida media, por definición, es el tiempo durante el cual la mitad de los núcleos de la muestra deberían haberse desintegrado (convertido en otra cosa... no desaparecido).

Podemos calcular este tiempo usando la ecuación anterior como

$\frac{N(t_{1/2})}{N(t=0)} \equiv 1/2 = e^{-\lambda t_{1/2}}$

dónde$t_{1/2} = \text{half-life}$. Resolviendo el lado derecho, obtenemos

$-ln(2) = -\lambda t_{1/2}$

o

$t_{1/2} = ln(2)/\lambda$

Esto muestra la relación entre la vida media y la constante de descomposición. A través del tiempo$t_{1/2}$, la mitad de los núcleos originales habrán decaído, dejando N(t=0)/2 núcleos en su estado original. Después de otra vida media, la mitad de los núcleos restantes sin descomponer se habrán descompuesto, quedando N(t=0)/4 originales. En general, después de las vidas medias de H,$N(t=0)/2^{H}$los núcleos permanecerán sin descomponerse.

El problema con la derivación anterior, como se mencionó, es que calcula un comportamiento promedio de una gran cantidad de núcleos (o, más exactamente, una proporción del total de núcleos) que, en lo que respecta a la ecuación, es continua. Esto se llama el enfoque "clásico".

Para derivar la descomposición real de un número de núcleos N, debemos comenzar con la representación estadística, que trata correctamente el número de núcleos como discreto, pero, dado que solo conocemos la probabilidad de que cualquier núcleo dado se desintegre en una cierta duración - da una distribución de probabilidad de los resultados finales en lugar de un resultado determinista. Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es: "En cada segundo, hay una probabilidad P de que suceda el decaimiento, y hay una probabilidad (1-P) de que no suceda el decaimiento". Por supuesto, una vez que todos los núcleos se han desintegrado, la probabilidad P es cero.

Es posible, aunque sumamente improbable para un gran número de núcleos, que en una muestra de núcleos radiactivos, todos ellos se desintegren en el mismo breve período de tiempo dt. Podemos llamar a este resultado #1. Solo hay una manera de lograr este resultado. Si la probabilidad de que un núcleo se desintegre en el tiempo dt es p, entonces la probabilidad de que no se desintegre en el mismo tiempo es (1 - p). La probabilidad del resultado #1 es$p^{N}$.

Hay N formas en las que ocurre el resultado #2, donde todos los núcleos menos uno se desintegran en el tiempo dt. Esto significa que la probabilidad del resultado #2 es$(\frac{N!}{(N-1)!})(1-p)p^{N-1} = N(1-p)p^{N-1}$.

El resultado #3 es que todos menos 2 núcleos se desintegran en el tiempo dt. La probabilidad del resultado #3 es$\frac{N!}{(N-2)!2!}(1-p)^{2}p^{N-2}$.

En general, el Resultado #k, que todos los núcleos excepto k-1 se desintegren en el tiempo dt tiene probabilidad$\frac{N!}{(N-(k-1))!(k-1)!}(1-p)^{k-1}p^{N-(k-1)}$.

Uno de todos estos resultados N+1 debe cumplirse al final del tiempo dt, por lo que la suma de todas estas probabilidades es uno.

Para responder a su pregunta, es útil mencionar que el Resultado n.° N+1 es que no se produce un decaimiento durante el período de tiempo considerado, y la probabilidad de este evento es$(1-p)^{N}$.

La ironía aquí es que he deslizado un modelo "clásico" del propio núcleo en la discusión -podríamos llamarlo el modelo de la "gota de líquido"- cuando, de hecho, el propio núcleo es simplemente una superposición de un gran número de configuraciones posibles o estados accesibles basados ​​en su energía interna, y podemos, en principio, contar este número de estados posibles para llegar al modelo estadístico y correcto del núcleo también.

También podemos relacionar los dos enfoques. Si establecemos dt = 1, entonces en la primera ecuación esto corresponde a t = 1 (en este punto, no importa qué unidades elijamos, pero sabemos que las unidades que elijamos son consistentes con$\lambda$), lo que lleva a la ecuación

$\frac{N(1)}{N(0)} = e^{-\lambda} = \frac{\text{Number of nuclei not decayed at time 1}}{\text{Number of nuclei at time 0}} = 1 - p$

donde, es cierto que hubo un poco de prestidigitación ya que p era para un solo átomo mientras que N corresponde a una población de átomos; pero, dado que p se deriva de una población de átomos, está bien.