¿Qué tiene de malo la siguiente forma de calcular la vida media a partir de la vida media?

Si desea calcular la vida media sumando una serie, la forma correcta de hacerlo es sumando

$$\tau = \sum(\text{time at which particle decays})\times(\text{probability that particle decays at that time})$$ Entonces, el primer problema es que estás calculando algo diferente. Tu serie es informática $$\sum(\text{time at which particle hasn't decayed})\times(\text{probability that particle hasn't decayed at that time})$$ que no es una cantidad significativa. Si nada más, esto cuenta dos veces una fracción de partículas. En particular, algunas de las partículas que sobreviven durante un segundo también sobrevivirán durante dos o tres segundos o más, y esas partículas se incluyen en varios términos en su suma.

La solución de este problema le dará la siguiente serie:

$$1\times \underbrace{\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)}_{P(\text{decay},1)} + 2\times \underbrace{\frac{1}{2}}_{P(\text{survival},1)}\times\underbrace{\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)}_{P(\text{decay},2)} + \cdots$$ dónde $P(\text{decay},1)$representa la probabilidad de que la partícula se desintegre después $1\ \mathrm{s}$, etcétera.

En este punto, puede darse cuenta de que la otra cosa que está haciendo es restringir las partículas para que solo se descompongan en números enteros de segundos. Si lo piensas bien, tu cálculo no hace distinción entre una partícula que se desintegra después$1.1\ \mathrm{s}$y una partícula que se desintegra después$1.9\ \mathrm{s}$, pero eso debería marcar la diferencia porque está cambiando$1.1\ \mathrm{s}$-partículas de por vida para$1.9\ \mathrm{s}$-las partículas de por vida aumentarán la vida útil promedio.

De hecho, puede extrapolar su lógica para encontrar la solución correcta, simplemente reduciendo el intervalo de tiempo. Por ejemplo, de tu primera ecuación$N(t) = N(0)\ 2^{-t/T_{1/2}}$, sabes que la partícula tiene probabilidad$\frac{1}{2}$de sobrevivir durante el primer segundo. Pero, ¿qué pasa con el primer medio segundo?

$$\begin{align} P(\text{survival},1/2) &= \frac{N(1/2)}{N(0)} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ P(\text{decay},1/2) &= 1 - P(\text{survival},1/2) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$$ ¿Y el segundo medio segundo? $$\begin{align} P(\text{survival},1) &= \frac{1}{2} \\ P(\text{decay},1) &= 1 - P(\text{survival},1) = \frac{1}{2} \end{align}$$ Etcétera. Entonces, si permite que las partículas se desintegren en incrementos de medio segundo en lugar de incrementos de un segundo, obtendrá $$\frac{1}{2}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + 1\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \frac{3}{2}\times\biggl[1 - \biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)\biggr]\times\frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots$$ que simplifica a $$\frac{1}{2}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + 1\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \frac{3}{2}\times\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^2\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \cdots = \sum_n \frac{n}{2}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^{n - 1}\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) \approx 1.707$$ Hacer lo mismo con intervalos de un cuarto de segundo te lleva a $$\sum_n \frac{n}{4}\biggl(\frac{1}{2^{1/4}}\biggr)^{n - 1}\biggl(1 - \frac{1}{2^{1/4}}\biggr) \approx 1.571$$ Tal vez puedas ver el patrón aquí: si $\Delta$es el intervalo de tiempo en segundos, es $$\sum_n n\Delta\frac{1}{2^{\Delta(n - 1)}}\biggl(1 - \frac{1}{2^{\Delta}}\biggr)$$ Tomando el límite como $\Delta\to 0$te dio $\frac{1}{\ln 2}$.