¿Veo la luna Lorentz contraída si giro alrededor de mí?

Si un objeto se mueve a una velocidad v en relación con mi marco su longitud yo 0 será Lorentz contraído a la longitud de mi marco yo :

yo = yo 0 1 − v 2 C 2
Si giro a mi alrededor con frecuencia ω , objetos a distancia r tendrá la velocidad relativa v = r ω . Entonces la luna a una distancia de r = 300000 km debe ser Lorentz contraído a la longitud yo = 0 , si giro alrededor de mí mismo con ω = 1 Hz (según la fórmula yo incluso se volvería complejo, cuando rotaría más rápido).

No he hecho el experimento, pero creo que si la luna estuviera contratada por Lorentz, alguien ya habría notado ese efecto. Así que algo debe estar mal aquí.

Lo curioso es que creo que si la luna o una nave espacial giraran a mi alrededor con una velocidad de v < C , cuando debo verlo Lorentz contrajo de acuerdo con la fórmula anterior. Entonces me parece que los dos casos, yo giro a mi alrededor y algo gira a mi alrededor, no son equivalentes. En el primer caso no veo ninguna contracción de Lorentz, pero en el segundo sí. ¿Es correcto mi pensamiento? Si es así, ¿alguien puede explicar por qué estos dos casos no pueden ser equivalentes y por qué el uso de la fórmula para la contracción de Lorentz debe ser incorrecto cuando giro alrededor de mí mismo?

Escuché que la contracción de Lorentz aparece en una dimensión, típicamente paralela al eje de movimiento. En este caso, la dirección del movimiento cambiaría constantemente y parecería perder algo de densidad en función del radio desde el centro de masa.

Respuestas (2)

Cuando rotas, ya no estás en un marco inercial, por lo que es complicado aplicar la relatividad especial. En particular, las coordenadas tienen una conexión no trivial , lo que significa que no puedes comparar directamente vectores en dos puntos diferentes. En particular, no puedes calcular la velocidad relativa entre tú y la luna directamente.

Como analogía, considere dos personas en la Tierra, cada una con brújulas. Es imposible comparar si sus brújulas funcionan a menos que ambos se reúnan en el mismo lugar para comparar. Este proceso se llama transporte paralelo.

En este caso (suponiendo por simplicidad que la velocidad de la luna es cero en el marco no giratorio), la forma físicamente correcta de calcular la velocidad relativa de la luna es transportar su velocidad en paralelo hacia ti, en el origen. Cuando haga esto, encontrará una velocidad de cero , como se esperaba.

En el último caso, cuando la luna se mueve y tú no giras, estás en un marco inercial, por lo que la conexión es trivial. Entonces puede comparar directamente su velocidad con la de la luna, obteniendo un resultado distinto de cero y, por lo tanto, una contracción de Lorentz.

Este problema también es común en la relatividad general. Por ejemplo, calcular ingenuamente la velocidad coordinada de galaxias distantes sugiere que se están alejando más rápido que la velocidad de la luz. Y calcular ingenuamente la velocidad coordinada de la luz que cae en un agujero negro en la métrica de Schwarzschild dice que la velocidad de la luz se reduce a cero a medida que se acerca al horizonte de eventos. (Los problemas son peores en GR, ya que la curvatura no trivial de los espacios significa que el resultado del transporte paralelo no es único).

Es 100% falso que los marcos no inerciales tengan curvatura o que se necesite relatividad general.
@Javier Debemos estar en desacuerdo sobre qué es la curvatura. En un marco giratorio, las geodésicas no son líneas rectas. ¿Eso no cuenta?
Sé que se puede hablar de marcos no inerciales en relatividad especial, pero es confuso, y los problemas conceptuales reales que surgen allí son todos los mismos que surgen en GR.
@knzhou: no. La curvatura es invariable, por lo que un espacio-tiempo plano sigue siendo plano desde la perspectiva de un marco de referencia acelerado o giratorio.
@DavidHammen Ah, ya veo, tienes razón.
@DavidHammen En realidad, creo que mi respuesta es independiente de eso. La curvatura es cero, pero la conexión en un marco giratorio no es trivial. Entonces, necesita el concepto de, por ejemplo, transporte paralelo para hablar sobre la velocidad de un objeto distante. Sin embargo, no necesitas el resto de GR.
@Javier (@DavidHammen) Bien, gracias por aclararme. Creo que mi respuesta revisada ahora es correcta, ¿puedes echarle un vistazo?
Mucho mejor. Necesita transporte paralelo incluso en la mecánica newtoniana para lidiar con marcos giratorios; es decir, v putrefacción = v inercial + ω × r a veces se llama el teorema del transporte. Incluso Goldstein usa la derivación de ondas manuales. Una derivación adecuada requiere geometría diferencial.

Una condición importante: según AP French, Special Relativity, MIT Introductory Physics Series (1968) pp 149-152 (todavía una joya en lo que a mí respecta) quien señaló que existe una diferencia importante entre "observar" y "ver". o mirar", las palabras ver y mirar implican el tiempo finito para el tránsito de la luz desde diferentes partes del cuerpo.

French da referencias a los siguientes artículos J Terrell, Phys Rev 116 , pp 1041-45 (1959), VF Weisskopf, Physics Today 13 pp 24-7 (1960) y GD Scott y MR Viner, Am J Phys 33 p534 (1965) y termina con el comentario "Esta idea errónea, que debe haber hecho sonrojar un poco a todo físico ....".

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