¿Qué tiene de malo derivar la contracción de la longitud del intervalo del espacio-tiempo de esta manera?

Question

¿Qué tiene de malo derivar la contracción de la longitud del intervalo del espacio-tiempo de esta manera?

Guillermo Oliver

Mi comprensión de la métrica del espacio-tiempo es la siguiente: si Alice y Bob son testigos de dos destellos de luz $E1$ y $E2$ , y Alice y Bob miden la distancia entre la posición de los dos destellos de luz como $\Delta x_A$ y $\Delta x_B$ respectivamente, y también miden el tiempo que transcurrió entre presenciar los dos eventos que sucedieron como $\Delta t_A$ y $\Delta t_B$ respectivamente, entonces

(Δ X_{B})^{2} - C^{2} (Δ t_{B})^{2} = (Δ X_{A})^{2} - C^{2} (Δ t_{A})^{2} .

$(\Delta x_B)^2 - c^2(\Delta t_B)^2 = (\Delta x_A)^2 - c^2(\Delta t_A)^2.$

He podido derivar la dilatación del tiempo de nada más que esta ecuación, de la siguiente manera:

C^{2} (Δ t_{B})^{2} - (Δ X_{B})^{2} = C^{2} (Δ t_{A})^{2} - (Δ X_{A})^{2}

$c^2(\Delta t_B)^2 -(\Delta x_B)^2 = c^2(\Delta t_A)^2 -(\Delta x_A)^2$

C^{2} (Δ t_{B})^{2} (1 - \frac{(Δ X_{B})^{2}}{C^{2} (Δ t_{B})^{2}}) = C^{2} (Δ t_{A})^{2} (1 - \frac{(Δ X_{A})^{2}}{C^{2} Δ t_{A}^{2}})

$c^2(\Delta t_B)^2\left(1 - \frac{(\Delta x_B)^2}{c^2 (\Delta t_B)^2}\right) = c^2(\Delta t_A)^2\left(1 -\frac{(\Delta x_A)^2}{c^2\Delta t_A^2}\right)$

(Δ t_{B})^{2} (1 - \frac{(Δ X_{B})^{2}}{C^{2} (Δ t_{B})^{2}}) = (Δ t_{A})^{2} (1 - \frac{(Δ X_{A})^{2}}{C^{2} Δ t_{A}^{2}})

$(\Delta t_B)^2\left(1 - \frac{(\Delta x_B)^2}{c^2 (\Delta t_B)^2}\right) = (\Delta t_A)^2\left(1 -\frac{(\Delta x_A)^2}{c^2\Delta t_A^2}\right)$

(Δ t_{B})^{2} (1 - \frac{v_{B}^{2}}{C^{2}}) = (Δ t_{A})^{2} (1 - \frac{v_{A}^{2}}{C^{2}})

$(\Delta t_B)^2\left(1 - \frac{v_B^2}{c^2}\right) = (\Delta t_A)^2\left(1 -\frac{v_A^2}{c^2}\right)$

Δ t_{B} \sqrt{1 - \frac{v_{B}^{2}}{C^{2}}} = Δ t_{A} \sqrt{1 - \frac{v_{A}^{2}}{C^{2}}}

$\begin{equation} \Delta t_B\sqrt{1 - \frac{v_B^2}{c^2}} = \Delta t_A\sqrt{1 -\frac{v_A^2}{c^2}} \end{equation}$

Alquiler $\gamma_B = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_B^2}{c^2}}}$

por lo tanto encontramos

Δ t_{B} = Δ t_{A} \frac{γ_{B}}{γ_{A}}

$\begin{equation} \Delta t_B = \Delta t_A \frac{\gamma_B}{\gamma_A} \end{equation}$

En el caso de que los eventos estén en la misma posición en el marco de referencia de Alice, $\gamma_A$ se convierte en 1, y esta ecuación es la conocida ecuación de dilatación del tiempo.

Aquí es donde comienza la verdadera pregunta: cuando trato de explotar esta misma línea de razonamiento para la contracción de longitud, me encuentro con problemas.

Supongamos que Alicia observa estos destellos en cada extremo de una vara de medir, que está en reposo con respecto a Alicia, ambos al mismo tiempo en su marco de referencia. Entonces $\Delta t_A = 0$ , y obtenemos

(Δ X_{B})^{2} - C^{2} (Δ t_{B})^{2} = (Δ X_{A})^{2}

$(\Delta x_B)^2 - c^2(\Delta t_B)^2 = (\Delta x_A)^2$

Suponemos ahora que Alice (y, por lo tanto, la vara de medir) se mueven a una velocidad distinta de 0 $v_B$ cuando lo observa Bob. Ahora hacemos el mismo tipo de manipulaciones que hicimos en el caso anterior, factorizando un $\Delta x_B^2$

(Δ X_{B})^{2} (1 - \frac{C^{2}}{v_{B}^{2}}) = (Δ X_{A})^{2}

$(\Delta x_B)^2\left(1 - \frac{c^2}{v_B^2}\right) = (\Delta x_A)^2$

Inmediatamente empiezo a ver que algo ha ido mal, ya que $(1 - \frac{c^2}{v_B^2})$ debe ser negativo (por lo que he oído sobre la física, $v_B^2 < c^2$ ), por lo que uno de los $\Delta x$ s debe ser imaginario. De hecho, si continuamos

(Δ X_{B})^{2} = (Δ X_{A})^{2} \frac{1}{(1 - \frac{C^{2}}{v_{B}^{2}})}

$(\Delta x_B)^2 = (\Delta x_A)^2\frac{1}{(1 - \frac{c^2}{v_B^2}) }$

(Δ X_{B})^{2} = (Δ X_{A})^{2} \frac{v_{B}^{2}}{(v_{B}^{2} - C^{2})}

$(\Delta x_B)^2 = (\Delta x_A)^2\frac{v_B^2}{(v_B^2 -c^2) }$

(Δ X_{B})^{2} = (Δ X_{A})^{2} \frac{v_{B}^{2}}{- C^{2} (- \frac{v_{B}^{2}}{C^{2}} + 1)}

$(\Delta x_B)^2 = (\Delta x_A)^2\frac{v_B^2}{-c^2(-\frac{v_B^2}{c^2} + 1) }$

(Δ X_{B})^{2} = - (Δ X_{A})^{2} \frac{v_{B}^{2}}{C^{2}} γ^{2}

$(\Delta x_B)^2 = -(\Delta x_A)^2\frac{v_B^2}{c^2}\gamma^2$

Pero esto implica que

Δ X_{B} = i Δ X_{A} \frac{v_{B}}{C} γ

$\Delta x_B = i \Delta x_A\frac{v_B}{c}\gamma$

Es decir, ¡hemos obtenido un valor imaginario para la longitud observada de la vara de medir por Bob! ¡Eso no tiene ningún sentido!

Sé que hay otras derivaciones de la contracción de longitud, pero no estoy seguro de por qué esta no funciona. He repasado el razonamiento varias veces, pero parece que no puedo encontrar una falla en él. Específicamente, ¿por qué debería funcionar esto para la dilatación del tiempo pero no para la contracción de la longitud? ¿Qué hice mal?

usuario65081

Para la contracción de la longitud, tanto dta como dtb deben ser cero, puedes tener esto porque los intervalos no son iguales, como puedes ver fácilmente en un diagrama de minkowski. Las medidas son simultáneas en ambos marcos de referencia.

Guillermo Oliver

@Wolphramjonny me tomó un tiempo entenderlo, pero ahora veo lo que estás diciendo. Quiere decir que dtb en este caso es el tiempo entre los dos destellos, pero no el tiempo que tarda la vara de medir en moverse del punto a al punto b. Es decir, este razonamiento asume implícitamente que los destellos son simultáneos en el marco de Bob. ¿Está bien?

usuario65081

el parpadeo estará desincronizado en uno de los dos marcos de referencia. Lo que haces para medir la longitud es marcar en tu eje las ubicaciones tanto del frente como del final del palo simultáneamente en tu sistema de referencia. nadie necesita moverse. entonces dtb es cero, olvídate de los flashes. dta también es cero. pero no puedes igualar los intervalos dsa y dsb porque no son lo mismo, las medidas de la parte delantera y trasera del palo no corresponden a los mismos dos eventos en los dos sistemas de referencia.

Guillermo Oliver

@Wolphramjonny Si pones esto en una respuesta, lo aceptaré

usuario65081

No es necesario, me alegra que te haya ayudado.

Respuestas (2)

¿Qué tiene de malo derivar la contracción de la longitud del intervalo del espacio-tiempo de esta manera?

Para la contracción de la longitud, tanto dta como dtb deben ser cero, puedes tener esto porque los intervalos no son iguales, como puedes ver fácilmente en un diagrama de minkowski. Las medidas son simultáneas en ambos marcos de referencia.
@Wolphramjonny me tomó un tiempo entenderlo, pero ahora veo lo que estás diciendo. Quiere decir que dtb en este caso es el tiempo entre los dos destellos, pero no el tiempo que tarda la vara de medir en moverse del punto a al punto b. Es decir, este razonamiento asume implícitamente que los destellos son simultáneos en el marco de Bob. ¿Está bien?
el parpadeo estará desincronizado en uno de los dos marcos de referencia. Lo que haces para medir la longitud es marcar en tu eje las ubicaciones tanto del frente como del final del palo simultáneamente en tu sistema de referencia. nadie necesita moverse. entonces dtb es cero, olvídate de los flashes. dta también es cero. pero no puedes igualar los intervalos dsa y dsb porque no son lo mismo, las medidas de la parte delantera y trasera del palo no corresponden a los mismos dos eventos en los dos sistemas de referencia.

marco ocram · Answer 1

Lo que su análisis está haciendo es encontrar la separación espacial en el marco de Bob de dos eventos simultáneos en el marco de Alice, es decir, de dos eventos en el marco de Alice que suceden en momentos diferentes en el marco de Bob .

En cambio, lo que debe hacer es comparar la separación espacial de los dos extremos en el marco de Alice con su separación en dos momentos simultáneos en el marco de Bob. La forma de hacerlo es considerar las líneas de mundo de los dos extremos del objeto en el marco de Alice (serán líneas paralelas en la dirección de su eje de tiempo) y encontrar su separación espacial a lo largo de una línea de tiempo constante en el marco de Bob, que le dará la longitud del objeto en el marco de Bob.

La razón por la que se produce la contracción de la longitud es que, desde la perspectiva de Alice, el tiempo de Bob está observando las posiciones de los dos extremos del objeto en dos momentos distintos, específicamente, está midiendo la posición del borde de ataque del objeto antes que la posición del borde de salida. , lo que permite que el borde de fuga avance un poco en el período intermedio, dando así un resultado más corto para la longitud.

Puedes ver cómo sucede si consideras a dos personas separadas por una distancia en una plataforma, que están tratando de medir la longitud de un tren que pasa. Deciden hacerlo anotando uno de ellos la posición de la parte delantera del tren a medida que pasa y el otro anotando la posición de la parte trasera, luego midiendo la distancia a lo largo del andén entre las dos posiciones que han anotado. Claramente, eso solo funciona si anotan la posición de los dos extremos exactamente al mismo tiempo; si anotan las posiciones en dos momentos diferentes, el tren se habrá movido entre las dos mediciones y obtendrán un resultado incorrecto. Eso es en efecto lo que sucede con la contracción de la longitud.

usuario12262 · Answer 2

Si Alice y Bob son testigos de dos destellos de luz $E1$ y $E2$ [...]

Aparentemente, estaban considerando dos marcos inerciales, con Alice como miembro de uno de estos dos y Bob como miembro del otro;

y dos eventos (que a su vez son observables, o "intermitentes" ) tales que un miembro (sin nombre) del marco de Alice y un miembro (sin nombre) del marco de Bob estaban participando (en coincidencia, pasándose) en uno de estos eventos, y otro (aunque, en algunos casos, no necesariamente distinto del antes mencionado) miembro (sin nombre) del marco de Alice y otro (aunque, en algunos casos, no necesariamente distinto del antes mencionado) miembro (sin nombre) del marco de Bob estaban participando (en coincidencia, superándose) en el otro evento; y además,

que la distancia entre estos dos miembros identificados del marco inercial de Alice se denota como $\Delta x_A$ (y que estos dos miembros también se llaman "los dos extremos de la vara de medir de Alicia "),
que la distancia entre estos dos miembros identificados del marco inercial de Bob se denota como $\Delta x_B$ (y que estos dos miembros también se llaman "los dos extremos de la vara de medir de Bob "),
que la duración de uno de los extremos de la "vara de medir" de Alicia desde su instante de haber tomado parte en uno de los dos eventos mencionados (habiendo encontrado y pasado uno de los extremos de la " vara de medir" de Bob ), hasta su instante simultáneo a el instante en que el otro extremo de la "vara de medir" de Alicia ha tomado parte en el otro evento (habiéndose encontrado y pasado el otro extremo de la "vara de medir" de Bob ) se denota como $\Delta t_A$ , y
que la duración de uno de los extremos de la "vara de medir" de Bob desde su instante de haber tomado parte en uno de los dos eventos mencionados (habiendo encontrado y pasado uno de los extremos de la " vara de medir" de Alicia ), hasta su instante simultáneo a el instante en que el otro extremo de la "vara de medir" de Bob ha tomado parte en el otro evento (habiéndose encontrado y pasado el otro extremo de la "vara de medir" de Alicia ) se denota como $\Delta t_B$ ,

entonces $(\Delta x_B)^2 - c^2(\Delta t_B)^2 = (\Delta x_A)^2 - c^2(\Delta t_A)^2$

Bien; dónde $c$ simboliza la velocidad del frente de la señal, por supuesto. (Mi explicación ligeramente detallada de todos los símbolos en su ecuación fue para enfatizar que, a pesar de la apariencia, es una declaración sin coordenadas).

Supongamos que Alicia observa estos destellos en cada extremo de una vara de medir, que está en reposo con respecto a Alicia, ambos al mismo tiempo en su marco de referencia.

Llamemos (correspondientemente) a los dos instantes "flash" o indicaciones de los dos extremos de la "vara de medir" de Alicia simultáneas entre sí (según la definición de Einstein de cómo debe medirse esto).

Entonces $\Delta t_A = 0$ , y obtenemos $(\Delta x_B)^2 - c^2(\Delta t_B)^2 = (\Delta x_A)^2$ .

Correcto.

Suponemos ahora que Alice (y, por lo tanto, la vara de medir) se mueven a una velocidad distinta de 0 $vB$ cuando lo observa Bob.

Bob y todos los miembros relevantes del marco inercial de Bob miden

que Alice y todos los miembros del marco inercial de Alice se mueven uniformemente. marco inercial de Bob, y
que todos se mueven a la misma (y, necesariamente constante) velocidad distinta de cero $vB$ .

(Además, Alice y los miembros del marco de Alice pueden determinar viceversa la velocidad constante $vA$ de Bob y todos los miembros del marco inercial de Bob; y se enteran de que $vA = vB$ .)

Ahora [...] factorizando $(\Delta x_B)^2$

... Sí ...

[obtenemos] $(\Delta x_B)^2(1 - \frac{c^2}{v_B^2}) = (\Delta x_A)^2$

¡No! -- $vB$ ciertamente no se define como la relación entre $(\Delta x_B)$ y $(\Delta t_B)$ !

(Y también, generalmente los valores de estas dos cantidades definidas de manera diferente no son iguales).

En cambio, con $\Delta t_A = 0$ , se puede deducir (mediante otros argumentos más elementales) que

(Δ X_{B})^{2} - C^{2} (Δ t_{B})^{2} = (Δ X_{A})^{2} = (Δ X_{B})^{2} (1 - \frac{v B^{2}}{C^{2}}),

$(\Delta x_B)^2 - c^2(\Delta t_B)^2 = (\Delta x_A)^2 = (\Delta x_B)^2 \, \left( 1 - \frac{vB^2}{c^2} \right),$

también conocido como "contracción de longitud".

¿Qué tiene de malo derivar la contracción de la longitud del intervalo del espacio-tiempo de esta manera?

Guillermo Oliver

usuario65081

Guillermo Oliver

usuario65081

Guillermo Oliver

usuario65081

Respuestas (2)

marco ocram

usuario12262

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