¿Qué tan grande tiene que ser una Sucá pentagonal?

No confíes en mi palabra sobre la traducción, pero Shulján Aruj 634:2 dice:

Si es redonda, debe contener en su interior un cuadrado de siete por siete t'fachim .

Y MB agrega que cualquier otra forma tiene la misma regla y que uno no necesita sentarse en el cuadrado contenido.

Sin embargo, preguntas sobre la longitud de la pared. Para un círculo, un cuadrado contenido de 7×7 significa, Baer Hetev y otros dicen que la longitud de la pared es 29,4 t'fachim (porque 7×√2×π=7×1,4×3=29,4).

Las longitudes de las paredes de otros polígonos pueden variar. El perímetro 'más corto' n -gon ( polígono de n lados) que contiene un cuadrado de 7 × 7 es uno que se aproxima a dicho cuadrado, como este pentágono:

( Lo más corto está entre comillas porque en realidad no hay más corto: siempre es posible obtener una aproximación un poco más cercana del cuadrado moviendo los vértices periféricos un poco más cerca de él).

En cuanto a los polígonos regulares , S. J. Dilworth y S. R. Mane, en un artículo de Journal of Geometry de 2011 , dicen que si un polígono regular de radio 1 (es decir, longitud 1 desde el centro hasta una esquina) tiene n lados, entonces:

• Si n es 5 o 9, entonces el cuadrado más grande del polígono tiene radio (cos(π/n)+sin(π/2n))/(cos(π/2n)+sin(π/2n)).
• Si n >9 es 4 k +1 para algún entero k , entonces el cuadrado más grande del polígono tiene radio (1−sin(π/2n))(cos(π/2n)+sin(π/2n))/cos (π/4n).
• Si n =4 k −1 para un entero k , entonces el cuadrado más grande del polígono tiene radio (1+sin(π/2n))(cos(π/2n)−sin(π/2n))/cos(π /4n).
• Si n es par pero no divisible por 4, entonces el cuadrado más grande tiene radio cos(π/n)/cos(π/2n).
• Si n es divisible por 4, entonces el cuadrado más grande tiene radio 1.

(Una punta del sombrero a sateesh mane por señalarme ese papel).

En ese caso, tenemos que un cuadrado de 7×7 (cuyo radio es 7/√2) se encuentra dentro de un n -ágono regular de radio:

• Si n es 5 o 9: 7(cos(π/2n)+sin(π/2n))/(cos(π/n)+sin(π/2n))√2.
• Si n >9 es 4 k +1 para algún entero k : 7cos(π/4n)/(1−sin(π/2n))(cos(π/2n)+sin(π/2n))√2.
• Si n =4 k −1 para un entero k : 7cos(π/4n)/(1+sin(π/2n))(cos(π/2n)−sin(π/2n))√2.
• Si n es par pero no divisible por 4: 7cos(π/2n)/cos(π/n)√2.
• Si n es divisible por 4: 7/√2.

Ahora, el radio de un n -gon regular es s /2sin(π/ n ) donde s es la longitud de un lado del n -gon. Por lo tanto, la longitud del lado de su suka tendría que ser:

• Si n es 5 o 9: 7√2sin(π/n)(cos(π/2n)+sin(π/2n))/(cos(π/n)+sin(π/2n)).
• Si n >9 es 4 k +1 para algún entero k : 7√2sin(π/n)cos(π/4n)/(1−sin(π/2n))(cos(π/2n)+sin(π /2n)).
• Si n =4 k −1 para un entero k : 7√2sin(π/n)cos(π/4n)/(1+sin(π/2n))(cos(π/2n)−sin(π/2n) )).
• Si n es par pero no divisible por 4: 7√2sin(π/n)cos(π/2n)/cos(π/n).
• Si n es divisible por 4: 7√2sin(π/n).

Por ejemplo, un pentágono regular necesitaría lados de longitud 7√2sin(π/5)(cos(π/10)+sin(π/10))/(cos(π/5)+sin(π/10)) , que llega (utilizando técnicas modernas, no las que arrojaron la cifra de 29,4 anterior) a una pizca de más de 6,3 t'fachim ; un hexágono regular, una pizca más de 5,52 t'fachim ; un heptágono regular, una pizca más de 4,64 t'fachim .

Advertencia: algunos de estos cálculos pueden estar mal. (En particular, obtuve una longitud lateral más pequeña antes para el pentágono más pequeño (como puede ver en una revisión anterior de esta respuesta), lo que no debería ser posible, y no estoy seguro de si eso fue un error o esto es). Además, no he leído el artículo de Dilworth y Mane, y no puedo responder por ello.