¿Qué tan caliente es tu fotón?

La noción de temperatura tiene que ver con cómo cambia el equilibrio de un sistema aislado cuando cambia la energía interna del sistema. Así que no necesitas preocuparte de si esta energía interna es cinética, potencial, lo que sea.

En realidad, la temperatura no es exactamente la energía cinética promedio del conjunto. Su declaración es cierta para un gas ideal y también aproximadamente cierta para muchas sustancias a temperaturas altas (generalmente decenas de Kelvin y más). Pero puede ver perfectamente por sí mismo, dada su excelente pregunta, que hay un problema con cosas como los fotones.

La definición más general de temperatura termodinámica para un sistema en equilibrio termodinámico (la temperatura solo puede definirse estrictamente para sistemas en equilibrio termodinámico) es, de hecho:

$$\frac{1}{k_B\,T} \stackrel{def}{=} \beta = \frac{\partial\,S}{\partial\,U}$$

dónde$S$es la entropía del sistema y$U$su energía interna total , ya sea cinética, potencial, lo que sea. Me gusta pensar en esta información teóricamente: piensas en el sistema como una caja aislada, le inyectas un poco de energía y te preguntas cuánto cambia el contenido informativo de sus microestados en respuesta. Para explicar más: los fotones (o un sistema de osciladores armónicos cuánticos) en realidad dan un buen ejemplo aquí: si los calientas, es decirle da a cada oscilador más energía, puede acceder a estados de energía cada vez más altos. Por lo tanto, necesita un "alfabeto" más grande o más bits para especificar el estado de cada oscilador. También puede ver cómo esto se relaciona con la noción aproximada de temperatura como energía media. Para la mayoría de las partículas, cuanto mayor sea su energía, más bits necesitarás para describir su estado. Un nombre pintoresco para$\beta$es a veces el "beneficio": cuánto se despierta o "anima" un sistema en respuesta a su energía "devoradora".

¡Pero la temperatura también puede ser negativa! Esto sucede cuando las partículas constituyentes tienen un límite superior estricto en sus niveles de energía. A medida que inyecta más y más energía en el sistema, las partículas se vuelven cada vez más seguras de estar en su estado de energía más alto, ya que esta es la única forma en que el sistema puede absorber más energía. Hay un límite a lo que puede tragar. ¡Cuando alcanzas este límite superior de energía total, es seguro que todo estará en su nivel de energía más alto y la entropía es cero ! A medida que se acerca a este nivel, la entropía del sistema disminuye a medida que inyecta más energía, por lo que la derivada parcial y la temperatura son negativas. Hago algunos cálculos más detallados sobre esta idea en mi respuesta aquí .

Aunque encuentro las ideas teóricas de la información más intuitivas, la definición$\beta = \frac{\partial\,S}{\partial\,U}$anterior se remonta directamente a Carnot y Clausius. Es una forma diferencial de su definición original de temperatura en términos de eficiencia de los motores térmicos que vinculan un depósito cuya temperatura se va a medir con un depósito "estándar" cuya temperatura es, por definición, la unidad. Vea mi respuesta aquí para más detalles.

Por último, regresemos y apliquemos todos mis golpes a su sistema original: un sistema de fotones. Simplemente aplique las ideas del conjunto canónico a un sistema de osciladores con energías uniformemente espaciadas y descubra cuál es la distribución de microestados de máxima verosimilitud, dada una suposición de energía total constante del sistema. En este punto, encontrará que para el conjunto de osciladores armónicos cuánticos, la energía media del oscilador es:

$$\left<E\right> = \frac{\hbar\,\omega}{2}\,\coth\left(\frac{1}{2}\,\beta\,\hbar\,\omega \right)$$

Aquí$\beta$es la "ventaja" o temperatura recíproca que definimos anteriormente. Es un multiplicador de Lagrange que uno define en el curso de encontrar la distribución de máxima verosimilitud restringida. La entropía de Shannon (por oscilador) cuando se alcanza la distribución de máxima verosimilitud es:

$$S = -\sum\limits_{n = 0}^\infty p(n) \log p(n) = \frac{\beta\,\hbar\,\omega\,e^{\beta \,\hbar\,\omega}}{e^{\beta\,\hbar\,\omega}-1} - \log \left(e^{\beta\,\hbar\,\omega}-1\right)$$

entonces la temperatura termodinámica viene dada por (observando que la única forma en que cambiamos la energía de este sistema es variando$\beta$):

$$T^{-1} = \partial_{\left<E\right>} S = \frac{\mathrm{d}_\beta S}{\mathrm{d}_\beta \left<E\right>} = \beta$$

como estaba previsto (sabía la respuesta, por supuesto, ¡así que no hay magia aquí!).

Entonces, un gas de fotones definitivamente puede tener una temperatura termodinámica. Lo extraño e inusual de este caso es que no pueden interactuar directamente, por lo que no hay una forma obvia de que se termalicen. En los sistemas naturales prácticos, se termalizan al interactuar con las cosas que los rodean, y esta es probablemente la razón por la que se observa que la CMBR ha alcanzado la distribución de equilibrio termodinámico de máxima probabilidad.

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Apéndice: dos interpretaciones equivalentes de la temperatura

Se puede demostrar que la temperatura recíproca$\beta$definido como$\beta = \frac{\partial\,S}{\partial\,U}$es lo mismo que el multiplicador de Lagrange, es decir , el multiplicador en el exponencial que surge en la distribución de Boltzmann para sistemas mucho más generales de partículas estadísticamente independientes, no simplemente para osciladores armónicos.

La distribución de Boltzmann para la probabilidad de encontrar, en un sistema de partículas estadísticamente independientes en equilibrio termodinámico, una partícula constituyente en estado$i$es:

$$p(i) = \frac{1}{\mathcal{Z}(\beta)}\,\exp\left(-\beta\,E_i\right);\quad \mathcal{Z} = \sum\limits_k \exp\left(-\beta\,E_k\right)$$

dónde$E_i$es el nivel de energía del estado$i$y$\mathcal{Z}$es la función de partición que normaliza todo para que todas las probabilidades sumen la unidad.

Por tanto, la entropía de Shannon por partícula es:

$$S=-\sum\limits_k p_k\,\log p_k = \sum\limits_k (\beta\,E_k + \log\mathcal{Z}(\beta) - \log q_k)\,p_k = \beta \,\left<E\right>(\beta) + \log{Z}(\beta)$$

Entonces, supongamos$S$varía como resultado de la variación de$\beta$,$\left<E\right>$y$\left<q\right>$. Tenemos:

$$\mathrm{d}\,S = \left<E\right>\,\mathrm{d}\,\beta + \beta\,\mathrm{d}\,\left<E\right>+\frac{\mathrm{d}\,\mathcal{Z}}{\mathcal{Z}}$$

Ahora notamos que$\mathrm{d}\,\mathcal{Z} = -\left(\sum\limits_k q_k\,E_k\,e^{-\beta\,E_k}\right)\,\mathrm{d}\,\beta = -\mathcal{Z}\,\left<E\right>\,\mathrm{d}\,\beta$, por lo que nos quedamos con:

$$\mathrm{d}\,S = \beta\,\mathrm{d}\,\left<E\right>$$

que, cuando se amplía por el número de partículas en el sistema, es simplemente$\mathrm{d}\,S = \beta\,\mathrm{d}\,U$.

En un sistema con temperatura negativa, por lo tanto, cuanto mayor sea la energía de un estado, más probable es que esté ocupado.