¿Qué significan las funciones de onda asociadas a los estados de Fock de cada modo de un sistema de estado ligado?

Question

¿Qué significan las funciones de onda asociadas a los estados de Fock de cada modo de un sistema de estado ligado?

DanielSank

$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right \rangle}$ Considere una cadena de longitud $L$ bajo tensión y sujetado en cada extremo. Este sistema se describe mediante la ecuación de onda y tiene un conjunto de modos. los $n^\text{th}$ el modo tiene un perfil espacial

ϕ_{norte} (X) = pecado (norte π X / L)

$\phi_n(x) = \sin(n \pi x / L)$ y frecuencia

ω_{n}

$\omega_n$ . En otras palabras, si sólo el

n^{th}

$n^\text{th}$ está excitado, el desplazamiento dependiente del tiempo de la cuerda es

y (X, t) = A porque (ω_{norte} t) pecado (norte π X / L)

$y(x,t) = A \cos(\omega_n t) \sin(n \pi x / L)$ para alguna amplitud

A

$A$ .

^{[a]}

$^{[a]}$ De hecho, la dinámica de cada modo es exactamente la de un oscilador armónico con frecuencia

ω_{n}

$\omega_n$ .

También tratamos la cuerda modo por modo cuando hacemos mecánica cuántica. Cada modo puede tener un número entero de excitaciones. Si el $n^\text{th}$ el modo tiene $m$ excitaciones, decimos que está en " $m^\text{th}$ Fock state" e indicarlo $\ket{m_n}$ . Este es el llamado lenguaje "segundo cuantificado" donde el estado de la cadena se escribe como

| {metro}_{0} ⟩ \otimes | {metro}_{1} ⟩ \otimes | {metro}_{2} ⟩ \otimes \dots = | {metro}_{0} {metro}_{1} {metro}_{2} \dots ⟩ .

$\ket{m_0}\otimes \ket{m_1} \otimes \ket{m_2} \otimes \ldots = \ket{m_0 m_1 m_2 \ldots} \, .$

Cada estado de Fock tiene una función de onda asociada . Por ejemplo, si un modo está en $\ket{0}$ , entonces ese modo tiene una distribución de probabilidad gaussiana en sus cuadraturas. Esta función de onda guassiana es completamente diferente del perfil espacial del modo $\phi_n(x)$ .

Ahora considere un pozo cuadrado infinito. Este sistema tiene varios estados propios que podemos etiquetar $\ket{\text{I}}$ , $\ket{\text{II}}$ , etc. Si tenemos una sola partícula, generalmente describimos el sistema diciendo en qué estado propio, o superposición de estados propios, se encuentra la partícula. Cada uno de estos estados propios tiene una función de onda asociada, es decir, $\langle x|\text{III}\rangle = \phi_\text{III}(x)$ . Estas funciones de onda nos dicen, entre otras cosas, la distribución de probabilidad de la posición de una sola partícula.

Con múltiples partículas, aprendemos originalmente a expresar el estado total especificando en qué estado se encuentra cada partícula. Por ejemplo, si la primera partícula está en $\ket{\text{I}}$ y el segundo esta en $\ket{\text{III}}$ , escribiríamos

| Ψ ⟩ = | yo ⟩ \otimes | tercero ⟩ .

$\ket{\Psi} = \ket{\text{I}} \otimes \ket{\text{III}} \, .$ Por supuesto, dado que las partículas de un solo tipo son indistinguibles, tenemos que simetrizar o antisimetrizar este estado. Sin embargo, es más fácil usar la segunda cuantización y escribir

| Ψ ⟩ = | 101 ⟩

$\ket{\Psi} = \ket{101}$ lo que significa que hay una excitación en el primer estado y una excitación en el tercer estado.

Observe que ahora lo que llamamos "estados propios" para la única partícula en el cuadrado parece desempeñar el papel de lo que llamamos "modos" en el caso de la cuerda vibratoria cuantificada. Quizás esto no sea demasiado sorprendente: podemos imaginar que hay un campo cuántico dentro del pozo cuadrado y ese campo tiene modos como una cuerda vibrante. En esta imagen, lo que normalmente consideramos como las funciones de onda de una sola partícula son como los modos vibratorios de la cuerda. En esta imagen es natural decir que cada modo puede ser excitado por uno, dos, tres... cuantos, que es lo mismo que decir que una, dos, tres... partículas pueden estar en cada estado de partícula individual. En otras palabras, cada modo puede estar en cualquiera de los diversos estados de Fock.

Sin embargo, si tomamos esta perspectiva, entonces esperamos que los estados de Fock de cada modo tengan funciones de onda asociadas . $^{[b]}$ Por ejemplo, si tenemos el estado $\ket{0000\ldots}$ en el pozo cuadrado, entonces estamos diciendo que cada modo del pozo cuadrado tiene una amplitud que tiene una distribución gaussiana.

En el caso de la cuerda, cada modo que tiene un estado fundamental con amplitud distribuida gaussiana significa que si mide el desplazamiento de la cuerda no siempre obtiene cero. Este es el llamado "movimiento de punto cero". ¿Qué significa que un modo particular de partículas en un pozo cuadrado infinito tenga un estado de Fock? $\ket{0}$ con función de onda gaussiana? Ingenuamente, esto significa que incluso sin partículas en el pozo, existe una probabilidad distinta de cero de medir un desplazamiento distinto de cero en el campo cuántico de la partícula. ¿Qué significa esto?

$[a]$ : Estamos ignorando la fase aquí.

$[b]$ : Me está quedando claro que el término "estado" está sobrecargado. Lo que llamamos "estados de partículas individuales" debería llamarse "modos", y el término "estado" debería reservarse para los diversos estados de Fock de cada modo, o para el estado total del sistema que es una superposición de productos tensoriales de estados de Fock.

vzn

creo que está en algo aquí y que las fuertes analogías con la física clásica no son mera coincidencia, y han perseguido ideas similares durante muchos años ... pero con el debido respeto / simpatía, estrictamente hablando, ¿no se puede decir que todo esto esboza un "oculto / (¿local?) teoría variable"? mi intuición, aunque débil en detalles matemáticos, tal vez una forma de resolver esto es tratar de entender qué significan las detecciones simultáneas de partículas, o qué es posible medir... de todos modos, me gustaría alentar encarecidamente una discusión más profunda sobre este tema ( ¿un koan zen?) pero en algún lugar menos restrictivo...

marca mitchison

Esta es una buena pregunta. Supongo que la respuesta tomará una de dos formas: 1) identificación de un observable físico cuya amplitud de probabilidad está distribuida por Gauss en el estado de vacío, 2) prueba de que no existe tal observable, porque la analogía entre los espacios de Fock de QM de muchos cuerpos y el oscilador armónico es puramente formal. Sospecho que 2) es cierto cuando se trata de partículas conservadas, es decir, fermiones o sus compuestos como átomos. Esto se debe a que la cuadratura de campo se verá esquemáticamente como

a + a^{†}

$a + a^\dagger$ (dónde

a

$a$ aniquila átomos) que seguramente no es un observable.

alfredo centauro

La pregunta del título es, de hecho, una de mis preguntas favoritas para reflexionar mientras estoy en el tractor cortando el pasto. Tengo algunas ideas, pero no tengo tiempo en este momento para compartirlas.

DanielSank

@MarkMitchison Creo que entiendo esto ahora. Dado un sistema cuántico donde los operadores son funciones de algo (a menudo posición, y esto se llama campo cuántico), podemos identificar modos (en realidad, a menudo lo mismo que los modos clásicos), cada uno de los cuales tiene un perfil de modo

ϕ_{n} (x)

$\phi_n(x)$ . Cada modo está representado matemáticamente por una sola partícula mecánica cuántica 1D , generalmente un oscilador armónico (en un sistema que no interactúa). Hablar de múltiples partículas indistinguibles en un potencial 1D significa automáticamente que volvemos al caso del campo cuántico y necesitamos encontrar modos nuevamente.

Respuestas (3)

¿Qué significan las funciones de onda asociadas a los estados de Fock de cada modo de un sistema de estado ligado?

creo que está en algo aquí y que las fuertes analogías con la física clásica no son mera coincidencia, y han perseguido ideas similares durante muchos años ... pero con el debido respeto / simpatía, estrictamente hablando, ¿no se puede decir que todo esto esboza un "oculto / (¿local?) teoría variable"? mi intuición, aunque débil en detalles matemáticos, tal vez una forma de resolver esto es tratar de entender qué significan las detecciones simultáneas de partículas, o qué es posible medir... de todos modos, me gustaría alentar encarecidamente una discusión más profunda sobre este tema ( ¿un koan zen?) pero en algún lugar menos restrictivo...
Esta es una buena pregunta. Supongo que la respuesta tomará una de dos formas: 1) identificación de un observable físico cuya amplitud de probabilidad está distribuida por Gauss en el estado de vacío, 2) prueba de que no existe tal observable, porque la analogía entre los espacios de Fock de QM de muchos cuerpos y el oscilador armónico es puramente formal. Sospecho que 2) es cierto cuando se trata de partículas conservadas, es decir, fermiones o sus compuestos como átomos. Esto se debe a que la cuadratura de campo se verá esquemáticamente como $a + a^\dagger$ (dónde $a$ aniquila átomos) que seguramente no es un observable.
La pregunta del título es, de hecho, una de mis preguntas favoritas para reflexionar mientras estoy en el tractor cortando el pasto. Tengo algunas ideas, pero no tengo tiempo en este momento para compartirlas.
@MarkMitchison Creo que entiendo esto ahora. Dado un sistema cuántico donde los operadores son funciones de algo (a menudo posición, y esto se llama campo cuántico), podemos identificar modos (en realidad, a menudo lo mismo que los modos clásicos), cada uno de los cuales tiene un perfil de modo $\phi_n(x)$ . Cada modo está representado matemáticamente por una sola partícula mecánica cuántica 1D , generalmente un oscilador armónico (en un sistema que no interactúa). Hablar de múltiples partículas indistinguibles en un potencial 1D significa automáticamente que volvemos al caso del campo cuántico y necesitamos encontrar modos nuevamente.

udv · Answer 1

¿Qué significa que un modo particular de partículas en un pozo cuadrado infinito tenga un estado de Fock? $|0\rangle$ con función de onda gaussiana?

En lo que respecta a la configuración de muchas partículas, me siento tentado a decir que la respuesta corta es "Nada, en realidad, porque el $|0\rangle$ el estado no es Gaussiano." :D

Respuesta más larga: el estado de vacío formal de la segunda cuantización no tiene nada que ver con el estado fundamental de un modo armónico en este caso. Es más bien un estado abstracto que permite el isomorfismo entre el subespacio (anti)simétrico del espacio de Hilbert de N partículas real y un espacio de Hilbert abstracto construido como un producto directo de espacios de "partículas" o "modos", cada uno equipado con un operador de escalera individual álgebra.

Una forma rápida de argumentar que ningún factor de función de onda gaussiana de vacío en la construcción se acerca a validar el comentario de @MarkMitchison: simplemente verifique las probabilidades de localización regulares, o incluso las funciones de correlación espacial, en el estado de vacío. Digamos que las funciones propias de una sola partícula son $\phi_n(x)$ (¡incluido el estado del suelo real!) y los operadores de escalera correspondientes son ${\hat a}_n$ , ${\hat a}^\dagger_n$ , tal que los operadores de campo leen

{\hat{ψ}}^{†} (X) = \sum_{norte} ϕ_{norte}^{*} (X) {\hat{a}}_{norte}^{†}, \hat{ψ} (X) = \sum_{norte} ϕ_{norte} (X) {\hat{a}}_{norte}

${\hat \psi}^\dagger(x) = \sum_n{\phi^*_n(x){\hat a}^\dagger_n}, \;\;\;{\hat \psi}(x) = \sum_n{\phi_n(x){\hat a}_n}$ Esto da inmediatamente una probabilidad nula de localización de una sola partícula en el vacío:

ρ_{0} (X) = ⟨ 0 | {\hat{ψ}}^{†} (X) \hat{ψ} (X) | 0 ⟩ = \sum_{metro, norte} ϕ_{metro}^{*} (X) ϕ_{norte} (X) ⟨ 0 | {\hat{a}}_{metro}^{†} {\hat{a}}_{norte} | 0 ⟩ = 0

$\rho_0(x) = \langle 0 | {\hat \psi}^\dagger(x) {\hat \psi}(x) |0 \rangle = \sum_{m,n}{\phi^*_m(x)\phi_n(x)\langle 0| {\hat a}^\dagger_m {\hat a}_n| 0\rangle } = 0$ En otras palabras, el segundo vacío cuantificado está realmente... vacío . De hecho, está vacío no solo en el nivel de una sola partícula, sino en cualquier nivel de k-partícula. Lo que significa que la "probabilidad de medir un desplazamiento distinto de cero en el campo cuántico de la partícula", como preguntaste, es realmente nula. O bien, la teoría no proporciona los medios para probar la función de onda del estado de vacío.

Nota: uno podría pensar en un vacío desplazado o comprimido como un contraejemplo, pero en una mirada más cercana nada cambia mucho porque la situación simplemente se transfiere a estados y operadores/observables transformados unitariamente.

Rococó · Answer 2

A riesgo de revelar que he entendido completamente mal su pregunta, algunas reflexiones...

A veces, la gente habla de QM normal como si fuera "QFT de dimensión cero"* y creo que la correspondencia es más o menos lo que quiere decir aquí. No estoy seguro de hasta qué punto se ha formalizado o se puede formalizar este punto de vista. Pero aquí está mi comprensión del contenido intuitivo.

Lo que llamaré el "límite de la mecánica cuántica de QFT"** es como si encogieras la cuerda hasta un punto, de modo que la amplitud finalmente se fije en algún valor trivial (si lo deseas, los dos límites se unen en uno). Pero, este límite se toma de tal manera que la estructura del modo permanece intacta.

Debido a que la amplitud es fija, tanto el modo espacial que llamas $\phi_n(x)$ y lo que llamas la función de onda se vuelve trivial. Todo lo que queda es el número de ocupación, que por supuesto se puede expandir en varias bases, incluida la base propia de energía (que hace que se parezca más a QFT) o la base de posición (que se ve bastante diferente).

Una formulación de QFT que es útil en este contexto es el enfoque funcional de onda (ver por ejemplo esta pregunta ), en el que el objeto fundamental es $\Psi[\phi(x)]$ , una distribución de amplitud de probabilidad sobre configuraciones de campo. En esta notación, el límite de QM sería aquel en el que las configuraciones de campo $\phi$ todos se vuelven triviales, pero todavía hay alguna distribución de amplitud de probabilidad sobre ellos.

*Específicamente, he escuchado este tipo de lenguaje en el contexto de la física estadística. Uno puede mapear una teoría de campo clásica en $d$ dimensiones a una teoría cuántica en $d-1$ más el tiempo imaginario. Cuando $d=1$ , la teoría cuántica resultante parece un hamiltoniano de una sola partícula.

**Para ser claros, esto es completamente diferente a un límite no relativista o de conservación de partículas de QFT, que también podría llamarse en un contexto diferente el "límite QM"

+1 Estoy bastante seguro de que su primer párrafo (después del descargo de responsabilidad) aborda el problema real. Podría escribir mi propia respuesta más tarde conectando lo que dijiste con lo que aprendí al hablar con la gente durante los últimos días.

usuario114179 · Answer 3

Me está costando entender totalmente la pregunta aquí, pero creo que la resolución podría ser pensar en diferentes modos como diferentes dimensiones espaciales. Recuerde que una partícula tridimensional en caja tiene tres números cuánticos ( $n_x$ , $n_y$ , y $n_z$ ). En términos de contenido de información cuántica (a nivel lógico), ¿hay alguna diferencia entre un oscilador armónico 2D con un fotón y un oscilador armónico 1D con dos fotones? creo que no hay

¿Qué significan las funciones de onda asociadas a los estados de Fock de cada modo de un sistema de estado ligado?

DanielSank

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DanielSank

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udv

Rococó

DanielSank

usuario114179

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