¿Qué significa realmente un doblete de isospín SU(2)SU(2)\rm SU(2)?

Dos partículas que forman un$SU(2)$doblete significa que se transforman el uno en el otro bajo un$SU(2)$transformación. Por ejemplo, un protón y un neutrón (que forman tal doblete) se transforman como,

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \xrightarrow{SU(2)} \exp \left( - \frac{ i }{ 2} \theta_a \sigma_a \right) \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \end{equation}$$ dónde $\sigma _a$son las matrices de Pauli. Resulta que el mundo real obedece a ciertas propiedades de simetría. Por ejemplo, las ecuaciones que describen las interacciones fuertes de protones y neutrones son aproximadamente invariantes bajo transformaciones unitarias con determinante 1 (la transformación que se muestra arriba) entre el protón y el neutrón. Esto no tenía que ser el caso, pero resulta que lo es. Dado que la interacción fuerte es invariante bajo tales transformaciones, cada término de interacción en el lagrangiano de interacción fuerte está muy restringido. Por un lado, esto es útil ya que permite hacer predicciones simples sobre los sistemas de protones y neutrones.

Para comprender mejor esta transformación y por qué se mantiene la simetría. Considere el QCD Lagrangian para los quarks arriba y abajo (que, al igual que para el protón y el neutrón, también forman un doblete de isospín):

$$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{u,i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _u \delta _{ ij} \right) \psi _{u,j} + \bar{\psi} _{ d ,i} \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _d \delta _{ ij} \right) \psi _{d ,j}% \\ % & \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - M \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation}$$ dónde $D ^\mu$es la derivada covariante y la suma sobre $i,j$es una suma sobre el color. Note que si $m _{ u} \approx m _d \equiv m$podemos escribir este Lagrangiano en una forma más conveniente, $$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation}$$ dónde $\psi \equiv \left( \psi _u \, \psi _d \right) ^T$. Este lagrangiano ahora es invariable sobre las transformaciones entre los quarks arriba y abajo ("isospin") ya que los generadores de color conmutan con los generadores de isospin. Dado que el protón y el neutrón y sólo difieren en su proporción de quarks arriba y abajo (la afirmación más precisa es que sus números cuánticos corresponden a los de $uud$y $udd$respectivamente), esperaríamos que estas partículas se comporten de manera muy similar cuando QED puede despreciarse (lo que suele ser el caso porque QED es mucho más débil que QCD a bajas energías).

Como un ejemplo explícito del uso de la simetría considere las reacciones:

$$\begin{align} & 1) \quad p p \rightarrow d \pi ^+ \\ & 2) \quad p n \rightarrow d \pi ^0 \end{align}$$ dónde $d$es deuterio, un singlete de isospín, y los piones forman un triplete de isospín. Para la primera interacción, el estado inicial de isospín es $\left| 1/2, 1/2 \right\rangle \otimes \left| 1/2, 1/2 \right\rangle = \left| 1, 1 \right\rangle$. Los productos tienen isospin $\left| 0,0 \right\rangle \otimes \left| 1,1 \right\rangle = \left| 1,1 \right\rangle$. La segunda interacción tiene un estado inicial de isospín, $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| 0,0 \right\rangle + \left| 1,0 \right\rangle \right)$, e isospín final, $\left| 0,0 \right\rangle$.

Dado que ambos casos tienen cierta superposición entre las funciones de onda isospin, ambos pueden proceder. Sin embargo, el segundo proceso tiene un factor de supresión de$1/ \sqrt{2}$al contraer las funciones de onda isospín. Para obtener las probabilidades, esto deberá elevarse al cuadrado. Así se puede concluir,

$$\begin{equation} \frac{ \mbox{Rate of 1} }{ \mbox{Rate of 2}} \approx 2 \end{equation}$$

Tenga en cuenta que, incluso sin saber nada sobre los detalles del sistema, pudimos hacer una predicción muy poderosa. Todo lo que necesitábamos saber es que el proceso ocurre a través de QCD.

No sé qué antecedentes traes a la pregunta. Entonces, a riesgo de sonar condescendiente, déjame darte una respuesta realista. Me pregunto si esto ayuda.

---

Piense en rotaciones en el plano bidimensional (real)$\mathbb{R}^2$. Puede rotar el eje X en el eje Y y el eje Y en el eje X negativo. Este grupo de rotaciones 2d se llama$SO(2)$. Tenga en cuenta que aquí, cada eje consiste en el conjunto de números reales. Si, en cambio, cada eje correspondiera al conjunto de números complejos, entonces tendríamos el plano complejo 2d$\mathbb{C}^2$. Las rotaciones en este plano corresponderían al grupo$SU(2)$y puede pensar en protones y neutrones (más bien, sus funciones de onda) como los elementos básicos que forman los dos ejes en este$\mathbb{C}^2$espacio. El "doblete" se refiere a tener dos ejes.

Este$\mathbb{C}^2$no se refiere a las dimensiones físicas reales, sino solo a alguna propiedad de los protones y neutrones.

No puedo explicar el "significado" de esto, aparte del hecho de que así es como se comporta la naturaleza. Una consecuencia es el hecho de que el protón y el neutrón tienen masas aproximadamente iguales, porque además de ser ejes diferentes correspondientes a esta propiedad, se supone que son bastante similares por lo demás.

Por lo general, cuando escribes la función de onda (de una partícula), te concentras en su perfil espacial (en la introducción a la mecánica cuántica) y descuidas otras propiedades que la caracterizan. De manera similar, cada partícula también lleva una función de onda correspondiente a cada otra característica y la descripción completa implica escribir todas las funciones de onda (podría "multiplicar" las funciones de onda correspondientes a todas las diferentes propiedades, por lo que vale). Al igual que podría haber visto operadores actuando sobre la parte espacial de una función de onda, también tendrá operadores actuando sobre la función de onda correspondiente a cada propiedad.