¿Cómo cambian los operadores de creación con el tiempo en una teoría interactiva?

Consideremos una teoría de campo escalar real por simplicidad (y firma métrica$+ - - -$). En la teoría libre, se pueden utilizar las expansiones de modo del campo$\phi(x)$y su momento canónico conjugado$\pi(x)$para derivar las siguientes expresiones para los operadores de creación y aniquilación:

$$a(p)=i\int d^3x\ e^{ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x),\ a^\dagger(p)=-i\int d^3x\ e^{-ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)$$ dónde $g\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}f:=g\partial_0f-(\partial_0 g)f$. Esta relación es siempre verdadera (y exacta) en la teoría del campo libre.

En la teoría de la interacción, uno hace la suposición -normalmente acompañada de algún argumento sobre "apagar las interacciones en el pasado y el futuro distantes"- que estas relaciones aún se mantienen asintóticamente (es decir, como$t\to \pm \infty$). Ahora queremos saber cuánto$a$y$a^\dagger$cambia con el tiempo, por lo que consideramos lo siguiente:

$$\Delta a(p)=a(p,\infty)-a(p,-\infty)=\int\partial_0 a(p,t)\ dt=i\int d^4x\ \partial_0 \left(e^{ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)\right)$$ Uno simplemente escribe estos derivados y usa una suposición adicional sobre el comportamiento de $\phi(x)$en el infinito para cancelar algunos términos, llegando finalmente a $$\Delta a(p)=i\int d^4x\ e^{ipx}(m^2+\partial^2_t-\partial_i^2)\phi(x)=i\int d^4x\ e^{ipx}(\square+m^2)\phi(x)$$ Esto demuestra inmediatamente que $\Delta a(p)$es cero en la teoría libre, ya que el campo libre obedece a la ecuación de Klein-Gordong $(\square+m^2)\phi=0$, reflejando el hecho de que $a(p)$es independiente del tiempo en este caso. Sin embargo, en una teoría interactiva la ecuación de movimiento es diferente y (generalmente) no lineal (p. ej. $(\square+m^2+\lambda\phi^3)\phi=0$En el caso de $\phi^4$-teoría), por lo tanto $\Delta(p)$no se desvanecerá en el caso de interacción. Es fácil derivar una expresión muy similar para $\Delta a^\dagger(p)$, a la que se le puede dar la misma interpretación.

Anexo (18-12-2014):

Resulta que no es completamente sencillo encontrar una buena interpretación para las expresiones principales. Sin embargo, creo que ahora he encontrado una buena imagen mental. Sin embargo, para que quede un poco más claro, tenemos que trabajar un poco más. De las expresiones para$\Delta a(k)$y$\Delta a^\dagger(k)$es bastante sencillo derivar la fórmula de reducción LSZ para$N$Partículas entrantes con momento$p_i$y$M$partículas salientes con momento$k_i$(en espacio de posición). Si luego se realiza una transformada de Fourier, encontramos:

$$\begin{align}\langle k_1\dots k_M|S|p_{1}\dots p_{N}\rangle &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \prod_{i=1}^M i(k_i^2+m^2)\prod_{j=1}^Ni(p_i^2+m^2)\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1})\\ &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(k_1)\Big)^{-1} \dots\Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(p_N)\Big)^{-1}\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1}) \end{align}$$

Aquí, es más sencillo dar una interpretación. El 'gran' propagador final básicamente toma el$N$partículas iniciales y las deja evolucionar en el tiempo, incluidos los términos de interacción , para$M$partículas en el estado 'fuera' - es básicamente una caja negra. Entonces, el producto de la inversa libre (nótese el superíndice$(0)$) los propagadores pueden interpretarse como sustrayendo la evolución en tiempo libre de todas las partículas individualmente.

Con esto en mente, podemos dar la misma interpretación a la expresión para$\Delta a$y su conjugado hermitiano: Podemos interpretar el$(\square+m^2)$como 'restar' la evolución del tiempo 'libre', conservando sólo la parte que se debe a la interacción (como sabemos, los operadores de creación/aniquilación libres deberían ser independientes del tiempo). Soy consciente de que esto es muy manual, pero creo que es lo mejor que puedo hacer en términos de proporcionar una intuición de lo que 'significa'; por supuesto, uno debería callarse y calcular ;)