¿Qué significa que una función de onda esté "acotada" mientras se imponen condiciones de regularidad?

Esta pregunta es más como una confusión de definiciones que me está causando malentendidos en varias cosas. Entonces, estoy tomando el curso MIT 8.05 Quantum Physics-II y el instructor, mientras mencionaba las condiciones de regularidad para los estados propios de energía, dijo que los estados propios de energía obtenidos al resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo deben ser continuos y "acotados" y la derivada de los estados propios también necesita ser "acotado".

Más tarde explica que no está imponiendo ninguna condición de normalización, ya que muchos estados propios, como los estados propios de impulso, son un conjunto realmente importante de estados propios que no son normalizables. Pero más adelante, en sus notas, define lo que significa que un Estado esté acotado.

Un estado propio de energía localizado ψ ( X ) se llama estado ligado si ψ ( X ) → 0 como | X | → ∞ .

Esto contradice directamente lo que impone como condiciones para los estados propios de energía. ¿Puede alguien ayudarme a entender esto? También he adjuntado una captura de pantalla de sus notas. Esto se puede encontrar en la página 6 de estas notas aquí .ingrese la descripción de la imagen aquí

Respuestas (1)

Una función ψ se llama delimitado en alguna región R si existe alguna C > 0 tal que | ψ ( X ) | < C para todos X en R . Esto no implica que la función sea normalizable; por ejemplo, la función ψ ( X ) = 1 está acotado en toda la línea real, pero claramente no es normalizable. Esto también es diferente de la definición del autor de un estado ligado .

Si estoy interpretando su pregunta correctamente, la respuesta corta es "normalizable" ≠ "encerrado" ≠ "atado."

Etimológicamente, esta definición de función acotada se relaciona con el hecho de que la función no se escapa al infinito en ninguna parte; su rango está restringido a algún intervalo finito.

Por otro lado, la definición de un estado ligado se relaciona con el hecho de que en la mecánica cuántica, un estado ligado está (en términos generales) localizado en alguna región finita del espacio. Un estado ligado de un electrón en un átomo de hidrógeno está "ligado" al núcleo, en la medida en que la probabilidad de medirlo a cierta distancia r del núcleo tiende a cero como r → ∞ .

Aah, entonces, en general, los estados propios de energía deben estar acotados, como ψ ( X ) = 1 X 2 no puede ser una función de onda viable ya que muere en infinitos pero no está "acotada" ya que diverge como X → 0 . Pero, un tipo especial de estados propios de energía, es decir, estados propios de energía localizados, se denominan "estados ligados". ¿Estoy en lo correcto?
@ Tachyon209 Sí, así es como se usa comúnmente la terminología. Si ayuda, generalmente se hace la distinción entre estados ligados y estados de dispersión.
Así que era sólo un problema de terminología. Jeje. Muchas gracias.
@ Tachyon209 tenga en cuenta que, en la práctica, una función de onda viable podría ser ilimitada (en particular, las soluciones de onda S de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno lo son). La condición en sus notas de clase es innecesariamente restrictiva (aunque es lo suficientemente buena para empezar). Vea esta pregunta para más discusión.
¿Qué significa que una función de onda esté "acotada" mientras se imponen condiciones de regularidad?
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