¿Perturbaciones métricas en relatividad general y modos casi normales?

Estoy familiarizado con las herramientas que aparecen en la teoría de la perturbación (lineal) para la relatividad general, es decir, que uno escribe:

Dónde$g^{(0)}_{\mu \nu}$se asume típicamente, y luego se asume una perturbación de algún tipo y se resuelven algunas ecuaciones. Perturbemos ahora la variedad de espacio-tiempo de fondo,$(M,\mathbf{g}^{(0)})$, por un campo escalar (sin masa), tenemos que las ecuaciones de movimiento para el campo escalar$\Phi$vienen dadas por la ecuación de Klein-Gordon:

Donde la derivada covariante se toma con respecto al tensor métrico de fondo$g^{(0)}_{\mu \nu}$. Supongamos que podemos resolver esto.

¿Cómo se traduce la solución para$\Phi$en términos de los componentes métricos$g^{(1)}_{\mu \nu}$? En el sentido de que hemos considerado una perturbación física en el espacio-tiempo y ahora el campo del tensor métrico debe modificarse mediante$(*)$. ¿Qué pasa si generalizamos un poco y consideramos un giro$\sigma$perturbación; electromagnético, Dirac o gravitacional (a través de la ecuación de Teukolsky)? Siguiendo el excelente artículo de revisión de Kokkotas y Schmidt ( http://arxiv.org/abs/gr-qc/9909058 ) dice que (en la página 10): "La variación de las ecuaciones de Einstein:

asumiendo una descomposición en armónicos esféricos tensoriales para cada uno (en mi notación)$g^{(1)}_{\mu \nu}$de la forma$\chi(t,r,\theta,\phi) = \sum_{\ell m} \chi_{\ell m}(r,t) Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)$la perturbación se reduce a una sola ecuación". Creo esto inmediatamente a la luz de la separación de variables y la ecuación$(**)$arriba. Pero no describen cómo los componentes métricos en$g^{(1)}_{\mu \nu}$se recuperan. ¿Existe un procedimiento general por el cual puedo igualar un giro?$\sigma$solución de perturbación (dado que puedo resolver la EoM para el espín$\sigma$campo) con la métrica?

Pregunta: ¿Cómo se empareja$\Phi$en$(**)$con$g^{(1)}_{\mu \nu}$? ¿Cómo funcionan los modos cuasi-normales en términos de$\omega$acoplar explícitamente a la métrica?

Editar: he vuelto a escribir la pregunta ligeramente con la esperanza de que ahora sea más convincente.

¡Gracias!