Recientemente comencé a jugar con algunos modelos gaussianos masivos en una red. La motivación es que trabajo en modelos sin masa y quiero entender el caso masivo porque parece más fácil de manejar (por ejemplo, la expansión del grupo tiene sentido gracias a los contornos que llevan masa). Considere un hamiltoniano
con un enrejado (piense principalmente en con ), el conjunto de sus aristas, y un potencial.
Me gustaria saber que se sabe de esta clase de modelos en general. Por ejemplo, para una clase relacionada de modelos sin masa pero con una función arbitraria de dos puntos, Funaki y Spohn demostraron que no hay transición de fase si esa función es convexa.
1. Me pregunto si se conoce un resultado similar para convexo (reemplace con cualquier otra condición razonable) .
Similarmente,
2. ¿Existe una condición necesaria en para que haya una transición de fase? Trate de dar algunos ejemplos.
Por ejemplo, parece natural que haya una transición para un modelo simétrico de pozo doble (con ruptura espontánea de la simetría a bajas temperaturas) y también se podría investigar el caso en el que uno de los pozos sea más favorable. Creo que debería poder probar estas cosas con algo de trabajo, pero supongo que ya lo ha hecho alguien.
3. ¿Podría indicarme una referencia sobre algunos modelos de doble pozo?
Otro tipo de modelo en el que he estado pensando es (configuración y dejando jugar el papel de la temperatura)
4. ¿Alguna idea sobre este modelo? Señalarme una referencia sería maravilloso, pero no estoy seguro de que esto se haya estudiado antes.
Desafortunadamente, me perdí esta pregunta cuando me la hicieron... No sé si todavía estás buscando una respuesta, pero por si acaso...
Depende de lo que quieras decir con "no hay transiciones de fase". Si te refieres a la localización del campo en las dimensiones 1 y 2 (en estas dimensiones, el campo sin masa tiene una varianza divergente), entonces esto es (i) fácil de hacer cuando U crece hasta el infinito, y (ii) incluso se puede hacer con un un golpe negativo arbitrariamente pequeño en cero (esto incluso produce un decaimiento exponencial de las correlaciones), consulte este artículo , por ejemplo. Por supuesto, en todos estos casos, si permite condiciones límite locas, pueden suceder cosas desagradables.
La transición de fase en tales potenciales de pozo doble se ha estudiado en varios artículos. Usando la positividad de la reflexión, puede mirar este artículo de revisión . Esto también se ha hecho usando expansiones de clúster. No tengo referencias en mente, pero hay un artículo de Milos Zahradnik (bueno, parece que es este )... También puedes echarle un vistazo a este artículo y a este , y tantos otros...
Esto se ha hecho: vea este artículo y sus secuelas (por Biskup y coautores) y también la revisión mencionada anteriormente .
Como ves, se saben muchas cosas sobre ese tipo de modelos. Permítanme también recomendar esta revisión mía que cubre este tipo de (y otros) temas.
La razón por la que no obtiene respuestas aquí no es porque este modelo sea oscuro. Este modelo es el modelo estadístico más extensamente estudiado en la historia --- es la versión reticular de la teoría de campo escalar auto-interactuante. Supongo que la razón por la que está teniendo dificultades para encontrar referencias para esta cosa en particular es porque los físicos saben mucho más de lo que las técnicas matemáticas pueden probar, pero la literatura estándar sobre campos estadísticos casi siempre habla de este modelo.
Además del artículo de Kenneth Wilson de 1974 Reviews of Modern Physics sobre Renormalization Group, también me gusta el pequeño libro de Parisi "Statistical field theory", pero también hay un tratamiento enciclopédico de Zinn-Justin, y hay libros de texto en todos los niveles. Hay demasiadas referencias para enumerar.
El modelo tiene un punto fijo del grupo de renormalización cerca de 4 dimensiones que está completamente descrito por los términos cuadráticos, cúbicos y cuárticos en el potencial efectivo de larga distancia V. No hay otros términos sobrevivientes --- cualquier potencial se renormaliza a un cuártico. Esto también es sorprendentemente cierto en 3 dimensiones, donde cabría esperar contribuir. No lo hace porque la dimensión canónica del campo se altera y hace que este término sea irrelevante (esto se discute bien en Parisi).
Este también es el modelo de Ising, porque si considera que el término cuártico es grande y el término de masa es grande negativo, reproduce un sistema de dos estados en cada sitio. El modelo de Ising se vuelve a normalizar para reproducir la situación general con un campo escalar, por lo que realmente no hay necesidad de considerar el campo continuo completo.
Podría decir más, pero el campo es enorme y cualquier resumen no será exhaustivo ni preciso. Sugeriría comenzar con la página de Wikipedia para Ising Model, leer a Wilson y Parisi. También están los papeles clásicos de Symanzik sobre modelos de polímero. Puede ignorar cualquier trabajo riguroso sobre esto, tanto en el extremo de la física como en el de las matemáticas. Nada de esto es útil porque el marco riguroso adecuado aún no está disponible.
Larian Le Quella
david z