¿Qué hace que una coordenada sea curva?

Bueno, por la presentación que das, vas a tener$\frac{d^{2}x^{i}}{d\tau^{2}}\neq 0$, porque tienes esos$\Gamma_{0i}{}^{j}$términos. Por ejemplo${\ddot y} + 2\frac{\dot a}{a}{\dot y}{\dot t} = 0$(Abuso de la notación y me refiero a las cosas obvias con puntos, pero obviamente,$a = a(t(s))$y$y=y(s)$)

La condición que quieres es$\Gamma_{\mu\nu}{}^{i} = 0$, con al menos una$\Gamma_{\mu\nu}{}^{0}\neq 0$. Estoy seguro de que hay métricas que cumplen esta condición, pero no conozco ninguna (no trivial${}^{1}$) fuera de la parte superior de mi cabeza.

EDITAR: tenga en cuenta que incluso la métrica de "potencial esférico perturbativo" mínimamente acoplada$ds^{2} = -(1-2\Phi(r))dt^{2} + dr^{2} + r^{2}d\theta^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}$tendrá una componente distinta de cero para$\Gamma_{tt}{}^{r}$, por lo que puede ser un poco complicado encontrar un ejemplo no trivial.

${}^{1}$Por ejemplo, podrías definir$g_{ab} = -f(t)dt^{2} + \delta_{ij}dx^{i}dx^{j}$. Esto tendrá un valor distinto de cero para$\Gamma_{tt}{}^{t}$, pero el espacio en realidad es solo espacio de Minkowski porque se puede cambiar por la sustitución$T = \int \sqrt{f(t)}dt$

Para que una variedad sea curva (curvatura intrínseca), debe tener una dimensión$\geq 2$, lo que significa que al menos dos curvaturas principales deben ser distintas de cero, ya que la curvatura de Gauss es el producto de ellas. Esto no se puede hacer con un solo vector o dimensión de base curva, como usted dice; en realidad, no hay forma de definir la curvatura intrínseca en la dimensión 1, un círculo tiene una curvatura intrínseca 0.

Otra forma de ver esto, más rigurosa, es la siguiente. Para un espacio-tiempo globalmente hiperbólico$(M,g_{ab})$de dimensión 4 con un vector de tiempo (físicamente relevante), siempre se puede realizar la descomposición ADM, lo que implica que$M = \mathbb{R} \times \Sigma_t$para$\{t\} \subseteq \mathbb{R}$y$\Sigma_t$es la hipersuperficie espacial de la foliación. Si$\Sigma_t$es plana, entonces la ecuación de Gauss-Codazzi

$$^{(3)}R_{abc}{}^d = h_a{}^f h_b{}^g h_c{}^k h^d{}_j R_{fgk}{}^j - K_{ac} K_b{}^d + K_{bc} K_a{}^d,$$ con $K_{ab}$la curvatura extrínseca de $\Sigma_t$y $h_{ab}$su métrica, que también actúa como un operador de proyección en la forma $h_a{}^b$, implica que si $\Sigma_t$es plano ( $^{(3)}R_{abc}{}^d =0$, $K_{ab} \equiv h_a{}^c \nabla_c n_b =0$, con $n_a$la unidad normal a $\Sigma_t$), entonces también lo es $M$.

Creo que es mejor argumentar desde el tensor de curvatura.$R_{ab}{}^\mu{}_\nu$. se define por

$$R_{ab}{}^\mu{}_\nu x^\nu = (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)x^\mu$$ por lo que le dice el grado en que las derivadas covariantes a lo largo de la $a$y $b$los ejes no conmutan. Puede ver formalmente a partir de esto que la curvatura requiere dos dimensiones, por lo que no tiene mucho sentido hablar de una coordenada curva. No tiene sentido decir "la curvatura en el $t$-dirección", siempre es "la curvatura en el $tx$-plano". Deberías hablar de un corte curvo : si puedes encontrar dos coordenadas tales que $$R_{12}{}^\mu{}_\nu = 0$$ en alguna región, las superficies definidas por $x^0 = t_0, x^3 = z_0$son planas, de lo contrario son curvas.

Lo anterior es en el caso general. El estuche FLR es un poco especial ya que puedes encontrar rebanadas planas tridimensionales . Dado que el espacio-tiempo es tetradimensional, cualquier plano en el que la curvatura no desaparezca debe contener la dirección ortogonal restante, que es la$t$-dirección.

Me parece que un buen punto de partida es la ecuación geodésica: [...]

Esto aparentemente se refiere a alguna curva particular (imagen de)$\gamma$; de hecho a alguna curva temporal particular$\gamma$para cual

$$\int_{\gamma} d \tau = \Delta \tau \mid_{\gamma} ~ \gt 0.$$

Dadas dos (no necesariamente distintas) (imágenes de) curvas temporales$\gamma$y$\psi$el correspondiente valor numérico real de la razón

$$\int_{\gamma} d \tau ~ / ~ \int_{\psi} d \tau$$

es, por supuesto, una cantidad geométrica e independiente de cualquier asignación particular (si la hay) de tuplas de coordenadas a estas dos (imágenes de) curvas, o al conjunto dado de eventos como un todo.

Entonces, una métrica en la que solo la coordenada de tiempo,$x^0$, es curva sería aquella en la que:

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 \neq 0$[...]

Si la coordenada de tiempo,$x^0$, se asigna a una determinada (imagen de una) curva temporal$\gamma$tal que

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 = 0$

entonces la asignación se llama "buena" (cmp. MTW Fig. 1.9) o "afín" (MTW § 10.1); especialmente si se refiere a curvas geodésicas.

Por el contrario, si la coordenada de tiempo,$x^0$, se asigna tal que

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 \neq 0$, o tal que la derivada$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0$no existe en absoluto
, entonces la asignación se llamaría "no buena" o "no afín".

(Las asignaciones de las otras coordenadas "relacionadas con el espacio" se pueden analizar por separado).

Por el contrario, la curvatura es una característica geométrica de un conjunto dado de eventos (o de curvas como subconjuntos de eventos dados); y, por lo tanto, independiente de cualquier asignación particular (si la hay) de tuplas coordinadas.