Un número finito de modelos contables implica decidibilidad

Suponer$T$es una teoría de primer orden decidiblemente axiomatizable y no tiene un modelo finito. Nos centraremos en los modelos contables. Si$T$tiene un solo modelo contable (hasta el isomorfismo), lo que significa$T$es$\aleph_0$-categórico, lo que implica que es completo por lo que es decidible. Ahora supongamos$\mathrm{Mod}_{\aleph_0}(T)$es finito salvo isomorfismo, esta condición más débil también implica decidibilidad.

Proceder por inducción sobre el número de modelos contables$m$. Si$m=1$, está probado. Suponer$T$está incompleto, entonces hay alguna oración$\varphi$tal que$T\cup\varphi$y$T\cup\lnot\varphi$son consistentes, deben tener estrictamente menos modelos contables, por lo que, por hipótesis de inducción, son decidibles, pero ¿cómo implica este hecho la decidibilidad de$T$?