¿Qué es una partícula de todos modos?

La forma más rigurosa de definir una partícula es como una representación irreducible del álgebra de Poincaré, es decir, clasificas el objeto "partícula" por su comportamiento bajo todas las transformaciones de simetría posibles del espacio-tiempo de Minkowski.

La representación de esta álgebra es infinitedimensional ya que el grupo de Poincaré no es compacto y por lo tanto sus representaciones son infinitedimensionales pero puedes estudiar sus representaciones vía representación inducida .

Empezamos con los operadores de cantidad de movimiento$P^\mu$que forman una subálgebra invariante (una subálgebra invariante es un conjunto de generadores del álgebra de Lie que se conmutan mutuamente). Puedes diagonalizar todo$P^\mu$simultáneamente (como se hace con el$L_z$y$L^2$para las representaciones de SO(3), aunque$L^2$es algo excepcional, ver más abajo) y denotan su estado propio por$|p\rangle$con

$$P^\mu|p\rangle = p^\mu |p\rangle.$$ Obviamente, tal estado es un estado propio del operador de traducción (es decir, un estado propio de momento) pero se transforma bajo una transformación de Lorentz $J$como $$|p\rangle \rightarrow |Jp\rangle$$ como se puede deducir del conmutador $[J^{\mu \nu}, P^\rho]$, tal como ingenuamente esperamos del momento de una partícula.

Ahora el operador$P^2 = P^\mu P_\mu$conmuta con todos los generadores del álgebra (se llama invariante de Casimir) y, por lo tanto, sus valores propios etiquetan una representación específica, es decir, son un número "cuántico", al igual que los valores propios del$L^2$El operador etiqueta su SO(3) a través del número cuántico de espín. Tenemos

$$P^2 |p\rangle = p^2 |p\rangle = m^2 |p\rangle$$ y ahora defina el estado de una sola partícula $|p\rangle$para describir una partícula elemental con masa $m$moviéndose con 4 impulsos $p$. En este sentido la masa $m$es un "número cuántico conservado" y una partícula es un valor propio de$P^2$clasificados por su masa (y su espín).

Su problema parece ser un marco extraño en la respuesta a la pregunta del polo/partícula. Si observa la fórmula de reducción LSZ para la función de Green en QFT, notará que la correspondencia partícula/polo en realidad surge de un polo en

$$\frac{1}{p^2 -m^2},$$ entonces para $\boldsymbol{p}=0$, los valores propios de $H$y $P^2$coinciden y exactamente esto se supone en la respuesta vinculada:

El argumento anterior se aplica a las teorías cuánticas de campos después de la eliminación de los grados de libertad del centro de masa. Por lo tanto, consideramos el subespacio de estados en los que se desvanece el impulso espacial.

Para obtener una explicación mucho mejor del "aislamiento" de la solución de valores propios, consulte la respuesta de Arnold Neumaiers.

Lo que falta en la clasificación anterior de una partícula como irrep. del álgebra de Poincaré es el espín, que por supuesto también lo llevan las partículas elementales. De hecho, el álgebra contiene otra invariante de Casimir con el espín del número cuántico asociado. Con este número cuántico adicional, las representaciones se pueden distinguir según su masa sea mayor, menor o igual a cero. Este interesante trabajo se realiza a través del pequeño grupo.

Para obtener más información sobre el aspecto teórico de representación extremadamente interesante de las partículas, consulte la clasificación de Wigner o el primer capítulo en Weinberg I.

''para poder$\varphi$ser una partícula, en caso de ser un valor propio aislado de$P^2$, o$H$? o ninguno?''

Ninguno de los dos.

En la teoría cuántica de campos, se define que una partícula tiene una capa de masa aislada.

La razón es que, dado que las cuatro componentes de la cantidad de movimiento conmutan, los espacios propios discretos solo aparecen al considerar los valores propios conjuntos de todas las componentes de la cantidad de movimiento. El espectro conjunto de estos es una unión de capas de masa, y si se aísla una capa de masa, el espacio propio conjunto correspondiente a cualquier punto de esta capa de masa es de dimensión finita.

Tenga en cuenta que uno tiene una situación muy similar en la teoría de campos no relativista y en la traducción invariante$N$-Mecánica cuántica de partículas. La única diferencia es que, en el caso no relativista, las capas de masa son hiperplanos en el espacio de cantidad de movimiento en lugar de hiperboloides.

El criterio con valores propios aislados del hamiltoniano se aplica solo para sistemas en los que se ha eliminado la invariancia de traducción al considerar el sistema en su marco de reposo. Esto es equivalente a intersectar el espectro con la línea definida por cero 3-momentum, lo que convierte una capa de masa aislada en un valor propio aislado de$H$.