¿Qué es una construcción geométrica correspondiente a la suma de curvas elípticas para los triángulos Sharygin-isósceles?

Question

¿Qué es una construcción geométrica correspondiente a la suma de curvas elípticas para los triángulos Sharygin-isósceles?

triangulos
Matemáticas
geometria plana
curvas-elípticas
Geometría euclidiana

Oliver Nash

Considere la curva elíptica definida por el cúbico:

a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3} + (a^{2} + a b + b^{2}) C - (a + b) C^{2} - C^{3} = 0

$a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 + (a^2 + ab + b^2)c - (a+b)c^2 - c^3 = 0$ en

P^{2}

$\mathbb{P^2}$ con punto distinguido

[1, - 1, 0]

$[1, -1, 0]$ como identidad.

Recientemente aprendí que los puntos reales del componente identidad de esta curva parametrizan naturalmente los triángulos euclidianos con una propiedad clara. En concreto son triángulos escalenos tales que el triángulo formado por la intersección de bisectrices de ángulos de lados opuestos es isósceles. Aquí hay un ejemplo:

Un extriángulo isósceles

(El triángulo en rojo, construido a partir de una bisectriz interna y dos externas, es isósceles).

Llamemos a esta propiedad $P$ . Ver aquí para una discusión más completa, con más imágenes y un poco de historia.

Esto significa que dados dos triángulos que satisfacen la propiedad $P$ , hay un tercero naturalmente asociado: su suma bajo la suma de curvas elípticas. Mis preguntas son:

¿Podemos encontrar una construcción geométrica para la suma de dos de estos triángulos?
¿Existe una familia natural de objetos geométricos parametrizados por el componente de no identidad de la curva elíptica?

Con respecto a la segunda pregunta, como se discutió aquí , parece que los triángulos están descartados, pero parece plausible que podamos encontrar algo. Por ejemplo, una idea con el tipo de sabor que tengo en mente es la siguiente: un triángulo que satisface la propiedad $P$ , tiene un lado distinguido. Podemos considerar los otros dos lados como una cuádrica singular. Quizás admitir cuádricas no singulares nos dé espacio para encontrar una interpretación para los puntos en este otro componente.

misericordia

en cuanto a la segunda pregunta, para ver los "triángulos complejos" puedes "rotar"

y

$y$ y trama

(x, i y)

$(x,iy)$ en lugar de

(x, y)

$(x,y)$ para obtener una imagen Los círculos se convierten en hipérbolas, pero la "bisección" del ángulo se vuelve un poco extraña de describir. Los triángulos reales se pueden trazar normalmente con bisectrices exteriores.

misericordia

también puedes trazar

(x, y^{2})

$(x,y^2)$ en cambio, que tendrá la ventaja adicional de que cualquier construcción que funcione para el procedimiento de suma funcionará de la misma manera en ambos componentes.

Oliver Nash

Gracias por estos comentarios tan interesantes @mercio. Sin embargo, creo que no te sigo del todo, ya que no puedo ver bien cuál es tu

x, y

$x, y$ son. Mi primera conjetura fue

x = b / c, y = a / c

$x = b/c, y = a/c$ pero esto no parece encajar con sus comentarios. Tal vez podría dar un ejemplo de un objeto candidato correspondiente al punto

[a, b, c] = [1 - \sqrt{17}, 1 - \sqrt{17}, 8]

$[a,b,c] = [1-\sqrt{17}, 1-\sqrt{17},8]$ ?

misericordia

Quiero decir, si intenta trazar los triángulos como en su demostración, con un segmento horizontal fijo

[A B]

$[AB]$ sobre el

x

$x$ eje y con

C

$C$ variando para que

A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'}

$A'C' = B'C'$ , lo que sucede cuando no se cumple la desigualdad del triángulo es que el

y

$y$ la coordenada de todos es puramente imaginaria. Entonces, si en lugar de trazar

(x, y)

$(x,y)$ tú tramas

(x, i y)

$(x,iy)$ o

(x, y^{2})

$(x,y^2)$ de repente estás mirando cosas reales.

Oliver Nash

@KeD La expresión de la ley de grupo en coordenadas es complicada, pero si ve algo, compártalo.

KeD

@OliverNash Tengo muchas preguntas, de las cuales las publiqué en forma de respuesta a continuación.

Respuestas (1)

¿Qué es una construcción geométrica correspondiente a la suma de curvas elípticas para los triángulos Sharygin-isósceles?

en cuanto a la segunda pregunta, para ver los "triángulos complejos" puedes "rotar" $y$ y trama $(x,iy)$ en lugar de $(x,y)$ para obtener una imagen Los círculos se convierten en hipérbolas, pero la "bisección" del ángulo se vuelve un poco extraña de describir. Los triángulos reales se pueden trazar normalmente con bisectrices exteriores.
también puedes trazar $(x,y^2)$ en cambio, que tendrá la ventaja adicional de que cualquier construcción que funcione para el procedimiento de suma funcionará de la misma manera en ambos componentes.
Gracias por estos comentarios tan interesantes @mercio. Sin embargo, creo que no te sigo del todo, ya que no puedo ver bien cuál es tu $x, y$ son. Mi primera conjetura fue $x = b/c, y = a/c$ pero esto no parece encajar con sus comentarios. Tal vez podría dar un ejemplo de un objeto candidato correspondiente al punto $[a,b,c] = [1-\sqrt{17}, 1-\sqrt{17},8]$ ?
Quiero decir, si intenta trazar los triángulos como en su demostración, con un segmento horizontal fijo $[AB]$ sobre el $x$ eje y con $C$ variando para que $A'C' = B'C'$ , lo que sucede cuando no se cumple la desigualdad del triángulo es que el $y$ la coordenada de todos es puramente imaginaria. Entonces, si en lugar de trazar $(x,y)$ tú tramas $(x,iy)$ o $(x,y^2)$ de repente estás mirando cosas reales.
@KeD La expresión de la ley de grupo en coordenadas es complicada, pero si ve algo, compártalo.
@OliverNash Tengo muchas preguntas, de las cuales las publiqué en forma de respuesta a continuación.

Álvaro Lozano-Robledo · Answer 1

¡Esto esta muy bien! Por ahora, solo tengo una pequeña nota para agregar que es demasiado larga para un comentario. Puedes traer la curva

C : a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3} + (a^{2} + a b + b^{2}) C - (a + b) C^{2} - C^{3} = 0

$C: a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 + (a^2 + ab + b^2)c - (a+b)c^2 - c^3=0$ a la forma de Weierstrass

mi : y^{2} + 1 / 3 X y = X^{3} + 7 / 9 X^{2} + 5 / 27 X + 1 / 81

$E: y^2 + 1/3xy = x^3 + 7/9x^2 + 5/27x + 1/81$ a través de

C \to E

$C\to E$ con coordenadas

(a / 3 + b / 3, - a / 9, - 2 a - 2 b - C) .

$(a/3 + b/3, -a/9,-2a - 2b - c).$ Y luego puedes traer fácilmente

E

$E$ a un modelo mínimo

y^{2} + x y = x^{3} + x^{2} - 2 x

$y^2 + xy = x^3 + x^2 - 2x$ , y calcule su grupo de Mordell-Weil: tiene rango

1

$1$ y torsión

Z / 2 Z

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . El grupo de puntos racionales en el modelo mínimo es generado por el punto

(0, 0)

$(0,0)$ de orden

2

$2$ y el punto

(2, 2)

$(2,2)$ de orden infinito. (Todo esto lo he hecho con Magma .)

Muchas gracias por esto, encantada de encontrar a alguien más que piense que esto es algo bueno en lo que pensar :)
Por cierto, me encontré con este problema en esta publicación de arXiv , que es principalmente un cálculo del grupo sobre $\mathbb{Q}$ . No tenía la inclinación de analizar su argumento, por lo que es bueno tener la confianza de que el resultado declarado es correcto, proporcionado por los cálculos de Magma. No estoy seguro si ya miraste, pero doy un poco más de contexto sobre este problema aquí .

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Supongamos que ∠BAC=60∘∠BAC=60∘\ángulo BAC = 60^\circ y ∠ABC=20∘∠ABC=20∘\ángulo ABC = 20^\circ. Un punto EEE dentro de ABCABCABC satisface ∠EAB=20∘∠EAB=20∘\angle EAB=20^\circ y ∠ECB=30∘∠ECB=30∘\angle ECB=30^\circ.

△ABC△ABC\triángulo ABC con un punto DDD adentro tiene ∠BAD=114∘∠BAD=114∘\angle BAD=114^\circ, ∠DAC=6∘∠DAC=6∘\angle DAC=6^\circ , ∠ACD=12∘∠ACD=12∘\ángulo ACD=12^\circ, y ∠DCB=18∘∠DCB=18∘\ángulo DCB=18^\circ.

Círculos iguales empaquetados en △ABC△ABC\triángulo ABC con AC=9AC=9AC=9, AB=12AB=12AB=12, ∠CAB=90∘∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

¿Los círculos R,G,BR,G,BR,G,B que se intersecan por pares tienen cuerdas comunes concurrentes?

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Si p,q,rp,q,rp,q,r son las longitudes de las perpendiculares desde los vértices del triángulo ABCABCABC en cualquier recta, probar a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

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