¿Qué es un sistema no conservativo?

En pocas palabras : un sistema conservativo conserva energía, uno no conservativo no.

En un sistema conservativo:

• las trayectorias siguen caminos de energía constante , es decir, si inicia el sistema con una configuración dada y deja que evolucione de acuerdo con su dinámica, la configuración (digamos, la posición y el momento de una partícula) puede cambiar con el tiempo, pero su energía permanece constante = es conservado;
• los volúmenes del espacio de fase se conservan , es decir, cualquier parte arbitraria del espacio de fase (una gota de configuraciones iniciales en el espacio de configuraciones posibles) mantiene un volumen constante a medida que evoluciona de acuerdo con la dinámica del sistema; puede deformarse e incluso dividirse tanto como quiera, pero su volumen total no cambiará.

Esta segunda descripción es una declaración del teorema de Liouville para los sistemas hamiltonianos , lo que nos lleva (ver esta pregunta ) a otra descripción más de un sistema conservativo, a saber, un sistema cuyo

• hamiltoniano es autónomo , es decir, es una función$H(x,p)$eso no depende del tiempo, sino solo de las variables del espacio de fase$x$y$p$.

Observe que un hamiltoniano no autónomo$H(t,x,p)$se puede usar para describir un sistema disipativo (es decir, no conservativo), pero la mayoría de las veces implícitamente implica independencia temporal y usa "conservador" y "hamiltoniano" indistintamente. Note también que para muchos sistemas$H$es solo la energía mecánica del sistema, en este caso,$H$ser independiente del tiempo es lo mismo que la energía del sistema es constante.

Para sistemas mecánicos, también podemos decir que, en un sistema conservativo:

• las fuerzas presentes son fuerzas conservativas , es decir, se pueden escribir como el gradiente de funciones escalares (ver también esta respuesta ).

Lo que nos lleva a su:

Pregunta 1: ¿El campo vectorial conservativo y/o la fuerza conservativa están relacionados con un sistema conservativo?

Sí. Primero, una fuerza conservativa es un caso particular de un campo vectorial conservativo (ver, por ejemplo, Wikipedia y esta pregunta ). En segundo lugar, la fuerza tiene que ser conservativa para que corresponda a una energía potencial significativa e independiente del tiempo, que a su vez normalmente se necesita para definir un hamiltoniano autónomo, es decir, para tener un sistema conservativo (consulte también esta pregunta , esta , esto , esto y esto ). Los ejemplos estándar de fuerzas disipativas son la fricción y el arrastre.

Como para

Pregunta 2: ¿un sistema no conservativo no incluye ninguno de los puntos de la lista de la cita anterior? Es decir, es el trabajo en un sistema no conservativo:

• Dependiente de la ruta
• No es igual a la diferencia entre los valores final e inicial de una función de energía.
• Completamente irreversible.

Sí. Los dos primeros puntos son definiciones equivalentes de fuerzas no conservativas (como se muestra, por ejemplo, en Wikipedia ) y, por lo tanto, excluyen, como se describe en la respuesta anterior a la Pregunta 1, que el sistema sea conservativo.
Y sí de nuevo, ser no conservativo implica una pérdida o inyección de energía en el sistema que evita que se "revierta", volver a una configuración anterior. Por ejemplo, un péndulo disipativo que parte del reposo en$3^\circ$no logrará volver a subir a$3^\circ$debido a la energía perdida por, digamos, el arrastre del aire al que está sujeto mientras oscila hacia adelante y hacia atrás.
También la reversibilidad en el sentido de simetría de inversión temporal se rompería para los sistemas no conservativos (ver esta pregunta y esta ).

Todo lo anterior es bastante pedestre: para una toma más completa y sofisticada, se puede comenzar consultando las fuentes vinculadas.

En particular, es importante señalar, las fuerzas fundamentales son conservativas, por lo que las fuerzas disipativas que vemos son fenómenos emergentes (como la fricción que surge de las interacciones electromagnéticas), o descripciones efectivas/fenomenológicas, o una consecuencia de considerar sistemas abiertos, etc.

En cuanto a la expresión "sistema no conservativo" que se encuentra con más frecuencia en artículos de los años 80 y 90, supongo que se debe principalmente a que el tema de investigación estaba más activo en ese momento.

Y, por último, sí, como espero que ahora quede claro, existe un relativo consenso sobre lo que es un sistema no conservador, incluso si a menudo no se declara.

1. Un campo vectorial conservativo y una fuerza conservativa ciertamente están relacionados con la idea de un sistema conservativo. Si el trabajo realizado moviéndose del punto A al punto B es independiente del camino tomado de A a B, entonces el sistema tiene una energía única en cada punto del espacio. El gradiente de esa función de energía es un ejemplo de un "campo vectorial conservador" como en el artículo de Wikipedia. El vector gradiente en cualquier punto del espacio corresponde a la fuerza que actúa sobre una partícula en ese punto.

2. La definición más simple es "un sistema no conservativo es cualquier sistema que no es un sistema conservativo", pero tal vez eso no le resulte muy satisfactorio.

Existe una suposición oculta que es cierta para muchos sistemas físicos incluso cuando no son conservativos: el trabajo realizado siguiendo un camino de A a B es igual y opuesto al trabajo realizado siguiendo el camino inverso de B a A.

Con esa suposición, tus puntos 1. y 2. son formas diferentes de decir lo mismo. Si el trabajo que va de A a B es diferente para dos caminos P y Q, entonces si va de A a B por el camino P y regresa a A por el camino inverso de Q, tiene dos valores diferentes para la función de energía en el mismo punto A, lo que significa que no se puede describir la energía mediante una función de un solo valor.

Su punto 3, "completamente irreversible" en realidad no significa nada a menos que defina lo que significan las palabras. Un sistema real puede tener algunas propiedades reversibles y algunas irreversibles.

En la teoría de sistemas dinámicos, un sistema se caracteriza por un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen cómo evoluciona el estado de un sistema con el tiempo:

dónde$f$también se puede considerar como el flujo del espacio de fase. Los sistemas se clasifican según el promedio de la divergencia del flujo del espacio de fase:

• $\nabla · f = 0$: sistemas conservativos – El teorema de Liouville (el de la mecánica teórica) nos da que el movimiento en un campo de fuerza conservativo (es decir, con energía conservada) es dinámica conservativa en este sentido. Tenga en cuenta que la preservación de la energía aquí se aplica al alcance de nuestro modelo en el sistema, por ejemplo, si consideramos el movimiento de las partículas, la fricción convierte la energía cinética en calor, sacándola así del sistema. Los ejemplos típicos de sistemas conservativos en este sentido son los sistemas mecánicos en los que se desprecia la fricción, por ejemplo, los péndulos o la mecánica celeste. Sin embargo, también hay sistemas no físicos que son conservativos, por ejemplo, el modelo clásico de Lotka-Volterra donde la cantidad conservada puede considerarse vagamente como biomasa.

• $\nabla · f < 0$: sistemas disipativos : la mayoría de los sistemas reales entran en esta categoría. Los obtienes si observas el movimiento con fricción. La mayoría de los sistemas reales son disipativos. Estos sistemas son el foco principal de la teoría del caos (aunque los sistemas conservadores también pueden ser caóticos). Un ejemplo típico es el péndulo amortiguado, pero también el péndulo amortiguado e impulsado. Otro ejemplo es el sistema de Lorenz , que es un modelo muy aproximado para la dinámica atmosférica. Aquí, la energía se alimenta constantemente al sistema (calentamiento de la atmósfera por el sol) y se disipa.

• $\nabla · f > 0$: sistema inestable : en mecánica, obtienes un sistema de este tipo si alimentas energía constantemente al sistema, pero no tienes fricción. Un ejemplo sería el péndulo impulsado pero no amortiguado, donde la amplitud aumenta. En realidad, tales sistemas no son sostenibles por mucho tiempo y, por lo tanto, tienen poco interés para la teoría de los sistemas dinámicos (que tiende a observar el comportamiento cualitativo a largo plazo).

Ahora, para responder a su pregunta: los sistemas no conservativos se dividen naturalmente en dos categorías (disipativos e inestables), que tienen propiedades completamente diferentes. Tiene sentido estudiar en general cada una de estas categorías, pero hay poco que decir acerca de los sistemas no conservativos en general.

Es muy parecido a los números distintos de cero: aparte del hecho de que puedes dividirlos, hay poco que decir sobre ellos.

Un sistema conservativo de partículas es un sistema en el que las fuerzas entre todas las partículas son conservativas. Como su nombre lo indica, la energía total de todas las partículas se conserva. Ver por ejemplo este video .

Pregunta 1: ¿un campo vectorial conservativo y/o una fuerza conservativa están relacionados con un sistema conservativo? Pregunta 2: ¿un sistema no conservativo no incluye ninguno de los puntos de la lista de la cita anterior? Es decir

Un sistema no conservativo es aquel en el que el trabajo realizado por una fuerza es:

Dependiente del camino No es igual a la diferencia entre los valores final e inicial de una función de energía. Completamente irreversible. ¿Hay algún consenso sobre cuál es la definición de un sistema no conservador?

A1) Sí lo es. Está escrito en la definición anterior qué es un sistema conservativo
A2) La fuerza de fricción (que siempre da lugar a un trabajo negativo porque la fuerza de fricción siempre es opuesta al desplazamiento) no conserva energía para las partículas que constituyen el sistema. La energía se libera en forma de calor. Y claramente esto depende de la ruta. Si muevo un cenicero sobre la mesa en línea recta de un punto A a otro B la energía liberada es la menor posible (suponiendo una mesa uniforme y una velocidad constante). Cuando mueve el cenicero de forma errática, la energía liberada supera el valor mínimo.

En los comentarios, ya te di algunos enlaces.