¿Cómo puede trabajar sobre él el peso de un cuerpo rígido para hacerlo girar?

Es importante tener en cuenta que aquí hay tres cantidades conservadas diferentes de interés: momento lineal, momento angular y energía. La energía cinética rotacional no es en sí misma una cantidad conservada.

Cada una de las cantidades conservadas tiene una tasa de cambio asociada, o "flujo". La tasa de cambio del momento lineal es la fuerza, la tasa de cambio del momento angular es el par y la tasa de cambio de la energía es la potencia.

Cada interacción puede producir los tres: fuerza, par y potencia. No es necesario que la fuerza que entrega el torque también entregue potencia.

Para que un disco ruede sin deslizarse, hay dos interacciones, la interacción gravitacional y la interacción de fricción. Suponiendo que no haya disipación, es sencillo demostrar que el cambio en el momento lineal es igual a la suma de las fuerzas de fricción y gravitación, que el cambio en el momento angular (sobre el centro de masa) es igual al par de torsión de la fricción solamente, y que el cambio en la energía es igual al poder de la gravedad solamente.

Es incorrecto suponer que el par de torsión debe proporcionar alguna energía. No es asi. Solo proporciona momento angular. Solo el poder proporciona energía, y eso proviene completamente de la interacción gravitatoria. La interacción friccional proporciona torque. No proporciona potencia, aunque proporciona una restricción que divide la potencia en KE rotacional y traslacional. Proporcionar tal restricción no requiere energía en sí mismo.

Para una fuerza de fricción$\vec F_{fric}$, el trabajo realizado por la fricción para el movimiento plano es$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$+$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$dónde$\vec v$es la velocidad del CM,$\vec \tau_{fric}$es el momento de torsión sobre el CM debido a la fuerza de fricción, y$\vec \omega$es la velocidad angular con respecto al CM. El trabajo realizado por la fricción tiene dos términos: el trabajo realizado por la fricción en el CM,$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$, y el trabajo realizado por la fricción con respecto al CM ,$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$. Para ciertas situaciones, la suma de estos dos términos es cero y la fricción no funciona (como rodar sin deslizarse), mientras que para otras situaciones la suma de estos dos términos no es cero y la fricción sí funciona (como deslizarse). Ver Enfoque consistente para calcular el trabajo por fricción para un cuerpo rígido en movimiento plano

Estoy confundido sobre el origen de la energía cinética de rotación del cilindro. Dado que la fricción estática y la fuerza normal se aplican en el punto de contacto con el plano, ninguna de ellas puede realizar trabajo sobre el cilindro (por lo que se conserva su energía mecánica), ya que el cilindro, por restricción, no se desliza. Esto parece implicar que la energía cinética de rotación del cilindro proviene del trabajo realizado por su peso.

En pocas palabras, el origen de la energía cinética de rotación es la división de la energía potencial gravitacional inicial en energía cinética de traslación más energía cinética de rotación, en lugar de convertirla simplemente en energía cinética de traslación, que es el caso del deslizamiento puro. La energía cinética de rotación se debe al par neto sobre el centro de masa (CM) del cilindro creado por la fuerza de fricción estática.

Considera lo siguiente:

1. Sin fricción estática, el cilindro se deslizaría por el plano inclinado sin girar. Entonces su energía cinética sería estrictamente la energía cinética de traslación de su centro de masa (CM) y tendrías

Dónde$h$sería la distancia vertical recorrida por el CM y$v_{cm}$es la velocidad del CM en la parte inferior de la pendiente.

Lo que le daría una velocidad final para deslizarse sin girar de

2. Con fricción estática y sin deslizamiento, la fricción estática provoca un par sobre el CM y, por lo tanto, la rotación sobre el CM además de la traslación del CM. Ahora, la energía potencial inicial se divide entre energía cinética de traslación y rotación, y es igual a la suma de las energías cinéticas de traslación y rotación del cilindro en la parte inferior del plano inclinado, o

Dónde$I$es el momento de inercia del cilindro y$\omega$es su velocidad angular. Para un cilindro macizo de radio$r$,

y

Reemplazando las dos últimas ecuaciones en la ecuación anterior obtenemos

Tenga en cuenta que la velocidad (y la energía cinética de traslación) del centro de masa del cilindro giratorio en la parte inferior del plano inclinado es menor que la velocidad (y la energía cinética de traslación) del cilindro que se desliza hacia abajo sin girar debido a que no hay estática fricción. Esto tiene que ser así porque la energía potencial gravitacional inicial se divide en energía cinética de traslación y rotación.

¡No existe tal cosa como un almuerzo gratis!

Pero todavía estoy un poco confundido por esto. Dado que la energía cinética de rotación del cilindro proviene de la energía potencial gravitacional que tenía en la parte superior del plano, debe darse el caso de que su peso esté realizando un trabajo que haga que gire. Pero no entiendo cómo puede suceder esto, ya que el peso no ejerce ningún par alrededor del centro de masa.

Es la fuerza de fricción estática la que causa el par sobre el CM, no el peso. el par$\tau$causado por la fuerza de fricción estática$F_s$donde el radio del cilindro es$r$es

El peso limita la máxima fuerza de fricción estática posible. Si se excede la fuerza de fricción estática máxima, el cilindro comenzará a deslizarse.

La máxima fuerza de fricción estática posible es

Dónde$\theta$es el ángulo de la inclinación y$\mu$es el coeficiente de fricción estática. Para que el cilindro ruede sin deslizarse,

He incluido los diagramas de cuerpo libre a continuación del cilindro deslizándose sin rodar y rodando sin deslizarse.

Espero que esto ayude.

Creo que la confusión se debe a la fricción estática que actúa sobre el cilindro. Dado que no es la fricción cinética la que actúa aquí, la fórmula general$f=\mu N$queda invalidado. Cabe señalar que la fricción es la única fuerza que proporciona un par de torsión para que el cilindro ruede y no solo se deslice, como en su segundo caso, donde el cilindro se coloca en una pendiente sin fricción.

Teniendo en cuenta su primer ejemplo, el diagrama de cuerpo libre sugiere que$mgsin\theta-f=ma$(aquí f es la fuerza de fricción que actúa sobre el cilindro, m es la masa del cilindro, a es la aceleración neta y$\theta$es el ángulo de inclinación)

De la relación del par neto con la aceleración angular,$\tau=I\alpha$ $\Rightarrow Rf=\frac{MR^{2}}{2}\times \frac{a}{R}$(donde I es el momento de inercia del cilindro macizo ($MR^{2}/2$en este caso), R es el radio del cilindro y$\alpha$es la aceleración angular del cilindro)

Resolviendo estas ecuaciones obtenemos,$f=\frac{mg}{2}$y no mg , el resultado que habríamos obtenido si hubiéramos sustituido directamente$f=\mu N$

En resumen, es debido al par que actúa sobre el cilindro por la fuerza de fricción que el cilindro adquiere cierta cantidad de energía cinética rotacional.