¿Qué es un calibre en una teoría de calibre?

En el uso normal, un indicador es una elección particular, o especificación, de potenciales vectoriales y escalares. $\mathbf A$y$\phi$que generará un conjunto dado de campos de fuerza física$\mathbf E$y$\mathbf B$.

Más específicamente, una situación física está especificada por los campos eléctricos y magnéticos,$\mathbf E$y$\mathbf B$. Un conjunto de potenciales$\mathbf A$y$\phi$genera los campos de fuerza si obedece a las ecuaciones

$$\begin{align} \mathbf B & =\nabla\times\mathbf A \\ \mathbf E & = -\nabla\phi-\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}. \end{align}$$ Como sabe, para un conjunto dado de campos de fuerza, los potenciales no son únicos. Un calibre es un requisito adicional específico sobre los potenciales. Un buen ejemplo de un calibre es el calibre de Coulomb, que está representado principalmente por el requisito de que $\mathbf A$también ser divergente, $$\nabla \cdot\mathbf A=0.$$ "La medida de Coulomb" se refiere al conjunto de potenciales que satisfacen esto.

Por lo general, se considera que los medidores especifican los potenciales de manera única. Esto no es realmente cierto, pero tienden a especificar los potenciales "únicamente hasta supuestos físicos razonables". El calibre de Coulomb es un buen ejemplo de esto: la transformación del calibre a

$$\begin{align} \mathbf A'&=\mathbf A+\nabla \chi(\mathbf r)\\ \phi'&=\phi \end{align}$$ preserva los campos físicos, y si $$\nabla^2 \chi(\mathbf r)=0$$ entonces también conserva la condición de calibre que $\nabla \cdot\mathbf A'=0$. Esto no es muy bueno para la unicidad, porque hay muchas funciones armónicas que satisfacen la condición anterior. Sin embargo, para que una función sea realmente armónica en todo el espacio, sin excepciones ni singularidades, entonces debe divergir en el infinito, lo que no es aceptable en la mayoría de los casos. Por eso, decir eso $\mathbf A$es el vector potencial en la medida de Coulomb generalmente significa que $\nabla \cdot\mathbf A=0$y que dichos términos de 'auto-energía infinita' se han puesto a cero; este suele ser un conjunto único de potenciales en situaciones en las que la energía en los campos físicos mismos no es infinita.

Vale la pena señalar que, en ciertas situaciones, la palabra calibre puede estar naturalmente libre de esta ambigüedad. En mi campo, la física de campo fuerte, las palabras 'calibre de longitud' y 'calibre de velocidad' significan que la energía total de un electrón que interactúa con un campo láser, en la posición$\mathbf r$y con impulso$\mathbf p$, es de la forma

$$E=\tfrac1{2m}\mathbf p^2-e\mathbf r\cdot \mathbf E$$ y $$E=\tfrac1{2m}\left(\mathbf p-e\mathbf A\right)^2,$$ respectivamente. Para un campo uniforme (es decir, en la 'aproximación dipolar'), las dos energías son equivalentes a través de una transformación de calibre. Sin embargo, aquí la palabra 'calibre' es completamente inequívoca, excepto por una energía constante total que puede ignorarse con mucha seguridad.

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Hasta ahora por cuestiones técnicas. Sin embargo, creo que gran parte de lo que te preocupa es la palabra "calibre" en sí misma, que de hecho es una elección extraña. En el uso diario, un indicador es una forma genérica de medidor o dial. La frase 'invariancia de calibre' parece haber llegado a la física a través del alemán, en el uso que hace Hermann Weyl de la palabra 'Eichinvarianz', que vagamente significa 'invariancia de escala' o 'invariancia de calibre' (en el sentido de que la elección del instrumento de medición ) determina los valores físicos medidos en un entorno dado, es decir, determina la escala).

Esta invariancia bajo cambios de escala es exactamente (parte de) la invariancia de calibre (técnica) en relatividad general, que es invariante bajo transformaciones de coordenadas.

Tenga en cuenta, sin embargo, que mi fuente para esta historia es Wikipedia , por lo que si alguien puede contribuir con una fuente mejor, sería fantástico.

Las simetrías continuas de la acción de un sistema que son globales , es decir, que no dependen de donde actúan, dan lugar a través del teorema de Noether a cantidades conservadas. Por ejemplo, una traducción en el tiempo$t \to t+\epsilon$por$\epsilon \in \mathbb{R}$es una transformación global y conduce a la conservación de la energía.

Por otra parte, si una acción es invariante ante transformaciones locales o de calibre que sí dependen del punto en el que actúan, entonces el sistema posee una redundancia. Por ejemplo, en el caso de,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

que describe el electromagnetismo, donde$F_{\mu\nu} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}$, tenemos una simetría de calibre,

$$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \epsilon(x)$$

ya que la fuerza de campo$F$será lo mismo. Para convencerse, escriba explícitamente la intensidad de campo:

$$F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + \partial_\mu\partial_\nu \epsilon(x) - \partial_\nu\partial_\mu\epsilon(x)=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\nu = F_{\mu\nu}$$

ya que$[\partial_\mu,\partial_\nu]\epsilon=0$. Entonces, si tengo un sistema con un potencial de 4$A_\mu$, mi acción no puede distinguirla del sistema con$A_\mu$diferenciándose por una derivada total$\partial_\mu \epsilon(x)$. Para ir más allá de su pregunta ahora, observe que una simetría de calibre nos permite simplificar nuestro problema a menudo. Si elegimos identificar$A_\mu$y$A'_\mu$como el mismo sistema, entonces para cualquier$A_\mu$siempre podemos hacer que satisfaga,

$$\partial_\mu A^\mu =0$$

eligiendo el derecho$\epsilon(x)$tal que$\partial_\mu \partial^\mu \epsilon(x)=-\partial_\mu A^\mu$. A la primera la llamamos 'calibre' o 'condición de calibre'. Este calibre en particular se debe a Lorenz .