¿Qué es ττ\tau y σσ\sigma en una geodésica ψ(x)=(τ(x),σ(x))ψ(x)=(τ(x),σ(x))ψ(x) = ( \tau(x),\sigma(x))?

Estoy tratando de replicar los resultados de este documento ( Eternidad en 6 horas , escrito por Stuart Armstrong y Anders Sandberg). En las páginas 14 y 15, analiza la trayectoria de una sonda intergaláctica que se lanza desde el sistema solar a una velocidad$v = pc$y no recibe ninguna aceleración más allá de eso.

Para ello, los autores definen una geodésica$\psi(x) = (\tau(x), \sigma(x))$que obedece a las ecuaciones

$$\tau''(x) + a'a(\sigma'(x))^2 = 0 \\ \sigma''(x) + 2 \frac{a'}{a}\sigma'(x)\tau'(x) = 0 \\ a^2(\sigma'(x))^2 - (\tau'(x))^2 = C$$ dónde $a$es el parámetro de expansión $a(t)$tomado como 1 hoy, y $C = p^2 - 1$es una constante ( $p$es la fracción de la velocidad de la luz a la que se lanzó la sonda, como se definió anteriormente).

Que hace$\tau(x)$y$\sigma(x)$¿significar? Estoy bastante seguro de que$\tau$denota tiempo y$\sigma$denota distancia, y creo que$\sigma$está en coordenadas comóviles, pero no sé si$\tau$describe la hora local desde el Big Bang en el lugar donde se encuentra actualmente la sonda, o la hora conforme, o algo completamente diferente. Tampoco estoy seguro de si$x$tiene algún significado adjunto, o si es solo una variable arbitraria.

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!