¿Qué es la probabilidad neutral al riesgo?

Descubrí cómo fijar el precio de las opciones europeas y tropecé con un término y una ecuación que no entendía:

Si suponemos que los inversores son indiferentes al riesgo y que los rendimientos esperados de todos los activos son iguales. En el caso de invertir en acciones, por probabilidad neutral al riesgo, el pago de mantener la acción, teniendo en cuenta las posibilidades de estado alcista y bajista, sería igual a la tasa libre de riesgo capitalizada continuamente esperada en el siguiente paso de tiempo, como sigue:

James Ma Weiming en Mastering Python for Finance, p76

e^{rt}=qu+(1-q)dd)

¿Qué es la probabilidad neutral al riesgo q ?

q= \frac{e^{rt}-d}{ud}

No estoy seguro de lo que son u y d , pero creo que es la probabilidad de que la acción suba o baje. y definitivamente no sé lo que e^{rt}es.

En Wikipedia encontré:

En finanzas matemáticas, una medida neutral al riesgo (también llamada medida de equilibrio o medida martingala equivalente) es una medida de probabilidad tal que el precio de cada acción es exactamente igual a la expectativa descontada del precio de la acción bajo esta medida.

Y en Investopedia:

Las probabilidades neutrales al riesgo son probabilidades de resultados futuros ajustados por el riesgo, que luego se utilizan para calcular los valores esperados de los activos. El beneficio de este enfoque de fijación de precios neutral al riesgo es que, una vez que se calculan las probabilidades neutrales al riesgo, se pueden usar para fijar el precio de cada activo en función de su pago esperado. Estas probabilidades teóricas neutrales al riesgo difieren de las probabilidades reales del mundo real; si se utilizara este último, sería necesario ajustar los valores esperados de cada valor para su perfil de riesgo individual.

De hecho, tal vez me equivoqué. De hecho: la siguiente sección trataba sobre saber si estas fórmulas también eran relevantes para los futuros.

En efecto, según el autor:

A diferencia de invertir en acciones, los inversores no tienen que hacer un pago por adelantado para contar una opción en un contrato de futuros. En un sentido neutral al riesgo, la tasa de crecimiento esperada por mantener un contrato de futuros es cero y el pago se puede escribir de la siguiente manera:

1=qu+(1-q)dd)

Por lo tanto

q=\frac{1-d}{ud}

Sin embargo, con p u = 1,2 y p d = 0,8, la probabilidad hacia arriba y hacia abajo, debería haber tenido: q = 0,5.

Pero esto es lo que obtuvo el autor:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Obtenga un libro, por ejemplo, uno de Hull con el título Option Futures y algo y léalo correctamente. Lo dejará mucho más claro. Leer bits en línea solo lo confundirá.
@DumbCoder Tengo la copia impresa en realidad
Hay alguna mala nomenclatura en ese documento. Una probabilidad no puede ser 1.2, lo que el 1.2 está en el proceso es el movimiento alcista del precio, lo que significa que la acción puede subir un 20 % (S * 1.2) o bajar un 20 % (S * 0.8).
@DStanley entendió, eso es más claro
Supongo que e es la constante matemática, r es la tasa de interés libre de riesgo y t es el tiempo hasta el vencimiento.

Respuestas (1)

De hecho, ha hecho varias preguntas, así que creo que lo que haré es darle una intuición sobre la fijación de precios neutral al riesgo para que pueda comenzar. Entonces creo que la respuesta a muchas de sus preguntas quedará clara.

Probabilidad Física

Existe cierta probabilidad de que todos los eventos que ocurren realmente ocurran, incluido el precio de una acción que sube. Eso es lo que llamamos la probabilidad física . Es muy intuitivo, pero no directamente útil para encontrar el precio de algo porque el precio no es el promedio ponderado de los resultados futuros. Por ejemplo, si tiene una acción que está altamente correlacionada con el mercado y tiene un 50 % de probabilidad de valer $20 dólares mañana y un 50 % de probabilidad de valer $10, su valor hoy no es $15. Valdrá menos, porque es una acción riesgosa y debe ganar una prima.

Cuando se trata de probabilidades físicas, si desea calcular el valor, debe tomar el promedio ponderado de probabilidad de todos los precios que podría tener mañana y luego agregar algún tipo de compensación por el riesgo, que puede ser difícil de calcular.

Probabilidad neutral al riesgo

La teoría financiera ha demostrado que, en lugar de calcular los valores de esta manera, podemos incorporar la compensación del riesgo en nuestras probabilidades. Es decir, podemos crear una nueva configuración de "probabilidades" ajustando hacia abajo la probabilidad de buenos resultados del mercado y aumentando la probabilidad de malos resultados del mercado. Esto puede parecer una locura porque estas probabilidades ya no son físicas, pero tiene la propiedad deseable de que luego usamos este conjunto de probabilidades para cotizar todos los activos: todos ellos (acciones, opciones, bonos, cuentas de ahorro, etc.) . A estas probabilidades ajustadas las llamamos probabilidades neutrales al riesgo . Cuando digo precio quiero decir que puede multiplicar cada resultado por su probabilidad neutral al riesgo y descontar a la tasa libre de riesgo para encontrar su precio correcto.

Para ser claros, hemos cambiado la probabilidad de que el mercado suba y baje, no nuestra probabilidad de que una acción en particular se mueva independientemente del mercado. Debido a que los movimientos que son independientes del mercado no afectan los precios, no tenemos que ajustar las probabilidades de que sucedan para obtener probabilidades neutrales al riesgo.

De todos modos, la mejor manera de pensar en las probabilidades neutrales al riesgo es como un conjunto de probabilidades falsas que consistentemente dan el precio correcto de cada activo en la economía sin tener que agregar una prima de riesgo. Si simplemente tomamos el promedio ponderado de probabilidad neutral al riesgo de todos los resultados y lo descontamos a la tasa libre de riesgo, obtenemos el precio. Muy práctico si los tienes.

Precios neutrales al riesgo

No podemos obtener probabilidades neutrales al riesgo a partir de la investigación sobre la probabilidad de que una acción suba o baje. Esa sería la probabilidad física. En cambio, podemos calcular las probabilidades neutrales al riesgo a partir de los precios.

Si una acción tiene solo dos precios posibles mañana, U y D, y la probabilidad neutral al riesgo de U es q, entonces

Precio = [ U q + D (1-q) ] / e^(rt)

La exponencial no es más que descontando por la tasa libre de riesgo. Este es el comienzo de las ecuaciones que has mencionado. Lo principal a recordar es que q no es la probabilidad física, es la neutral al riesgo. No puedo enfatizar eso lo suficiente. Si ha especificado previamente lo que pueden ser U y D, entonces solo hay una incógnita en esa ecuación: q. Eso significa que puede mirar el precio de las acciones y resolver la probabilidad neutral de riesgo de que las acciones suban.

La razón por la que esto es útil es que puede establecer el precio de la opción asociada con la misma probabilidad neutral al riesgo. En el caso de la opción, no sabe su precio hoy (todavía), pero sí sabe cuánto dinero valdrá si la acción sube o baja. Utilice esos valores y la probabilidad neutral al riesgo que calculó a partir de las acciones para calcular el precio de la opción. Eso es lo que está pasando aquí.

Para recordar: la misma medida de probabilidad neutral al riesgo valora todo lo que hay. Es decir, si elige un activo, multiplica cada resultado posible por su probabilidad neutral al riesgo y lo descuenta a la tasa libre de riesgo, obtiene su precio. En general, usamos los precios de cosas que conocemos para inferir cosas sobre la medida de probabilidad neutral al riesgo para obtener precios que no conocemos.

¡Gracias por esta perspicaz respuesta! - Sin embargo, ¿por qué los movimientos que son independientes del mercado no afectan los precios ? - ¿Y realmente necesitamos probabilidades falsas que den constantemente el precio correcto en la medida en que ya tenemos el precio como entrada?
Entonces, ¿también es útil obtener los precios de mañana que aún no conocemos a partir del precio que conocemos hoy? Me parece que es mucho más el caso en la medida en que generalmente sabemos cuál es el precio de un activo en el tiempo t pero no sabemos cuál será en t+1 .
No estoy seguro de lo que estás diciendo en este último comentario. El ejercicio que está viendo usa el precio de las acciones de hoy para estimar la probabilidad neutral al riesgo de los precios de las acciones mañana y usa esas probabilidades para averiguar cuál debería ser el precio actual de la opción. Me parece útil.
Esta respuesta me recuerda a CAPM. Sea $E(R_s)=R_f+\beta [E(R_m)+R_f]$. Como podemos ver, necesitamos una compensación por el exceso de riesgo que soportamos, que proviene únicamente de la correlación con el mercado (por ejemplo, el riesgo sistemático) ya que la idiosincrasia se puede diversificar. Si eliminamos esta prima de riesgo, cambiando a $mathbb{Q}$, obtenemos como valor esperado la tasa libre de riesgo.
@farnsy """si tiene una acción que tiene un 50% de probabilidad de valer $20 dólares mañana y un 50% de probabilidad de valer $10, su valor hoy no es $15. Valdrá menos, porque es una acción riesgosa y debe ganar una prima. """ - No entiendo, las probabilidades 50/50 ya deberían tener en cuenta el "riesgo" o están mal, ¿no?
@ user10507 Su pregunta es ambigua en el contexto de su pregunta. Mi cita se refiere a las probabilidades físicas, que es lo que la gente normalmente quiere decir cuando dice "probabilidad". No pagaría $15 por un activo que tiene un valor esperado de $15 bajo las probabilidades físicas (verdaderas) si es riesgoso. ¿Por que lo harias? La probabilidad neutral al riesgo otorga un mayor peso de probabilidad al resultado negativo, como 40/60, por ejemplo, para obtener el precio correcto (en ese caso, $14). Pero recuerde que 40/60 no es la probabilidad física: el activo tiene una probabilidad real del 50% de valer $20.
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