¿Qué es el potencial de gravedad 2D?

Tienes razón en que si tomas la ley de la gravedad de Newton tal como está y la aplicas a un universo 2D, obtendrás un resultado infinito. Entonces, necesita usar una teoría modificada en dos dimensiones, o de hecho en cualquier número de dimensiones que no sean tres.

La forma correcta de hacer esto es usando la relatividad general, y si aplica GR al espacio-tiempo 2+1D, obtiene algo que básicamente no se parece en nada a la gravedad tal como la conocemos. En particular, el espacio solo está distorsionado o "curvado" donde realmente hay masa, a diferencia de nuestro universo, donde la distorsión se extiende más allá de la región que realmente contiene la masa. Debido a que esa distorsión es lo que reconocemos como gravedad, en un mundo 2+1D no habría atracción gravitatoria. La presencia de masa causaría algunas rarezas geométricas, pero no habría fuerza actuando entre masas separadas. Para obtener más información, consulte, por ejemplo, "Relatividad general en un espacio-tiempo de (2 + 1) dimensiones" .

Antes de que se inventara GR, por otro lado, los físicos habrían intentado generalizar la gravedad newtoniana a otros números de dimensiones utilizando la ley de Gauss para la gravitación, que es exactamente equivalente a la ley de Gauss para los campos eléctricos. Como sabrás, la versión eléctrica de la ley de Gauss establece que la integral de superficie del campo eléctrico sobre una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada, de manera análoga, la integral de superficie del campo gravitatorio sobre una superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada .

En 3D, para una esfera que encierra una masa puntual, esto te da$(4\pi r^2\hat{r})\cdot(g\hat{r}) = -4\pi GM$, o$\vec{F}_g = m\vec{g} = -\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$, que es reconocible como la ley de gravitación de Newton. En el espacio 2D, en cambio obtienes$(2\pi r\hat{r})\cdot(g\hat{r}) = -4\pi GM$, lo que lleva a

Entonces, para hacer su integral con la gravedad newtoniana 2D, reemplazaría el exponente$\frac{3}{2}$en el denominador de la integral con$1$, además de cambiar la constante (pero me saltearé eso, ya que lo ha configurado en 1 de todos modos).

Puede que haya hecho esa integral mal, pero el punto es que la respuesta es finita. También podría usar la ley de Gauss directamente para verlo: un círculo unitario lleno de material de densidad superficial unitaria encierra una masa$\pi$, por lo que la aceleración gravitatoria newtoniana 2D en la superficie sería$-\frac{2GM}{r} = -2\pi G$.

A partir de esta fuerza modificada, podrías determinar que la energía potencial tendría que tener una forma logarítmica, simplemente usando$U = -\int \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$.

La definición habitual de gravedad en diferentes dimensiones hace que si el espacio es 2d, entonces la gravedad newtoniana es 1/r y no 1/r^2 (como señala David Zaslavsky, GR en 2+1 dimensiones es aún más raro --- la gravedad no ejerce fuerzas de largo alcance en 2d, pero crea déficits cónicos puntuales.Ignoraré GR en esta respuesta), por lo que el potencial es logarítmico. Esto se debe a que la gravedad 2d 1/r adecuada es armónica en el plano perforado, al igual que la gravedad 3d. Las órbitas ya no son elipses, no son curvas cerradas, solo las oscilaciones radiales tienen un período diferente al de las oscilaciones angulares. Además, todas las órbitas están enlazadas. Esto no es lo que está preguntando, pero debe saberlo.

Lo que está haciendo es usar el potencial 3d para una densidad de masa que se ha aplastado en un plano. La divergencia que ves se debe al hecho de que tienes una densidad infinita en el plano --- tienes una placa masiva de espesor$\epsilon$con una densidad de masa por unidad de área, por lo que una densidad de masa infinita por unidad de volumen.

Lejos del borde del círculo de la placa, cuando estás cerca de la placa, parece una densidad de masa plana infinita. En este caso, la solución cercana a la placa para el potencial es que se parece a la función de valor absoluto$|a|$donde a es la distancia perpendicular a la placa infinita. Esto es lo mismo que en electrostática --- la solución para el campo gravitacional de una placa infinita con densidad de masa constante es la ley de Gauss. Tiene un campo gravitacional que apunta hacia la placa que es finito en la placa, pero que tiene un salto finito en la placa, y la magnitud del salto es proporcional a la densidad por unidad de área. Esto significa que el potencial tiene una primera derivada discontinua, pero no es infinita en la placa.

Pero justo cerca del borde circular, la solución de la placa cercana es diferente. En el límite en el que estás muy cerca del borde, estás mirando una placa semi-infinita con una densidad de masa finita. Este límite de escala se puede resolver usando métodos 2-d. Si coloca la placa en el plano zx y la estira a lo largo del eje x negativo, el potencial es una función solo de y y x, no de z, por lo que no hay campo eléctrico a lo largo de la dirección z. El campo eléctrico es una función armónica alejada del eje x negativo y es una función armónica bidimensional. Esto significa que G_x + iG_y es la parte real de una función holomorfa (G es el campo gravitacional).

Para una masa puntual, G_x + i G_y resulta ser la función holomorfa (excepto por un punto)$1/z$. Así que cada polo es la ubicación de una masa. La densidad de masa finita a lo largo del eje x negativo significa que la función armónica tiene una densidad de residuos constante a lo largo del eje x negativo. La densidad de residuos es la discontinuidad de corte (como se explica en esta respuesta: función de correlación que tiene corte de rama en el espacio de impulso ), por lo que encuentra que la solución es la función logarítmica:

De hecho, esto es divergente en z=0, pero no en la placa. Esto explica por qué tu integral es divergente y te dice la forma asintótica de la divergencia.

Esta divergencia en el borde de una placa plana no es una sorpresa. Es aún peor cuando tienes una línea delgada, entonces la divergencia es 1/r. Las placas tienen campos divergentes y las agujas delgadas tienen campos aún más divergentes. Este es el principio del pararrayos, haces una línea delgada a potencial cero para causar fuertes campos eléctricos que ionizan y descargan el aire. Esto no es exactamente lo mismo, porque su placa no tiene el mismo potencial, pero es el mismo principio general.

¿Que esta pasando aqui? ¿Cómo se deriva el potencial de gravedad?

En el contexto de la gravedad no relativista, simplemente busque la solución fundamental de la ecuación de Laplace. Del artículo de Wikipedia "Solución fundamental":

Ecuación de Laplace

Para la ecuación de Laplace,

$[-\nabla^2] \Phi(\mathbf{x},\mathbf{x}') = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$

las soluciones fundamentales en dos y tres dimensiones son

$\Phi_{2D}(\mathbf{x},\mathbf{x}')= -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|,\quad \Phi_{3D}(\mathbf{x},\mathbf{x}')= \frac{1}{4\pi|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}$

Entonces sí, en 2D, el potencial es logarítmico.

Si es así, ¿por qué, y no es una paradoja si las masas puntuales en órbita 2D siguen una ley diferente a las masas puntuales coplanares en 3D?

No es una paradoja; la ley de fuerza entre las dos masas puntuales es diferente en 2D de lo que es en 3D. Considere una órbita puramente radial. ¿Considerarías una paradoja que las masas puntuales colineales en 3D no sigan una ley de fuerza 1D?

La gravedad inversa tiene consecuencias para los agujeros negros. Las respuestas n.° 2 y n.° 3 anteriores detallan por qué y cómo puede existir realmente la gravedad 2D. En un agujero negro giratorio donde la masa-energía se ha derrumbado en una singularidad, solo se ha derrumbado la dirección z. Debido a que toda la materia/energía que ingresa a un agujero negro debe tener inicialmente un componente de velocidad orbital, todo ese material debe orbitar a velocidades cada vez más rápidas, acercándose al infinito, a medida que se acerca a la singularidad. Tal material debe orbitar en concierto. Inicialmente, es decir, debe orbitar todo en la misma dirección para que, a medida que su radio orbital se reduzca, se pueda pensar en el agujero negro como si estuviera girando cada vez más rápido. A medida que se contrae, actúa cada vez más como un solo cuerpo giratorio. Girando más rápido que c por debajo del horizonte de sucesos, la naturaleza del propio espacio-tiempo debe cambiar.a la Kerr, pero a una singularidad de disco indefinidamente ancha que es singular solo en la dirección z e infinita en las direcciones xy. Entonces, esta entidad de masa-energía-espacio-tiempo ejerce un campo gravitatorio 2D porque el componente espacio-tiempo de su naturaleza puede ignorar el horizonte de eventos.

Debe volverse asintóticamente plano a medida que se acerca al origen. También debe volverse asintóticamente plano a medida que se acerca al infinito. Esta es la simetría de una hipérbola, un campo gravitatorio que declina como 1/r. Einstein calculó G para el campo de gravedad 1/r^2 pero no se molestó en el caso 1/r.

Pero, usando v = (G*M/r*)^1/2, donde r* = el vector unitario de r para la integridad dimensional, y usando la relación M-sigma que muestra una gráfica de M versus sigma, la desviación estándar de las velocidades de las estrellas abultadas en una galaxia que orbita caóticamente un agujero negro supermasivo, podemos determinar empíricamente G*. Mide aproximadamente 2 x 10^-32 m^3 kg^-1 s^-2.

Las consecuencias de esto son profundas. Un campo gravitacional que cae más lentamente que el campo newtoniano clásico explica no solo el efecto M-sigma, sino también la dispersión de velocidad anómala y todos los demás fenómenos asociados con la materia oscura. Este campo gravitacional de agujero negro supermasivo hiperbólico (1/r) ES materia oscura.

El perfil de energía potencial gravitacional 1/r sigue una relación logarítmica mientras que la energía potencial 1/r^2 sigue un perfil hiperbólico. Cuando se colocan en la misma escala y se grafican en unidades naturales o geométricas, se pueden superponer para que los orígenes y los valores en r = 1 coincidan. Se puede pensar que estas energías potenciales equivalentes representan los perfiles de energía potencial del agujero negro primordial, la partícula inflatón en el campo inflatón altamente excitado del falso vacío de Alan Guth, que es solo un campo gravitacional 2D excitado.

A medida que el colapso cuántico dependiente del tiempo del campo de inflatón dona su energía potencial al campo gravitatorio del "estado fundamental" no excitado, llega un momento en que ambos son iguales a 1. A partir de entonces, el campo gravitacional excitado que colapsa comienza a ejercerse de nuevo y colapsa desde energías cada vez más altas hacia el campo del estado fundamental. El resultado es que los objetos en el universo comienzan a moverse cinemáticamente más y más lejos a un ritmo acelerado.

Entonces, el campo gravitatorio hiperbólico no solo puede explicar todos los fenómenos de la Materia Oscura, por extensión explica todos los fenómenos de la Energía Oscura. El campo gravitacional hiperbólico ES energía oscura también.

También pensé durante años en la fórmula de Newton de la gravitación. Para la intensidad del campo gravitatorio hice un cálculo diferencial y obtuve la ley logarítmica.

Hay 3 casos:

• en puntos colocados en la superficie del cuerpo esférico está disponible la fórmula de Newton
• en puntos colocados a una distancia infinita está disponible la fórmula de Newton
• en puntos situados a distancias intermedias o finitas se dispone de la distribución logarítmica de la Intensidad del campo gravitatorio.

Gamma= k*M/L^2*ln(1-R1/L)

Prácticamente para la fórmula de Newton se añade el término adicional ln(1-R1/L)