¿Qué determina la configuración de las órbitas en un sistema binario?

Siguiendo la convención$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$,$M = m_1+m_2$, en el marco del centro de masa tenemos, por definición,

$$\begin{eqnarray*}\mathbf{r}_1 = -\frac{m_2}{M}\mathbf{r}\text{,}\quad&\mathbf{r}_2 = \frac{m_1}{M}\mathbf{r}\text{.}\end{eqnarray*}$$ Por eso, $\ddot{\mathbf{r}} = -GM\hat{\mathbf{r}}/r^2$implica que las órbitas individuales son secciones cónicas similares en este marco y, además, en el caso límite, son elipses que comparten un foco común en el centro de masa, con los tres focos distintos siendo colineales y con el centro entre ellos. Aunque hay un caso degenerado de una órbita circular.

Por lo tanto, hay una condición geométricamente simple para la configuración de intersección: hay intersección si, y solo si, la distancia al apoapsis de la masa más grande (órbita más pequeña) es mayor o igual que la distancia al periapsis de la masa más pequeña (órbita más grande ). Dado que una elipse general en coordenadas polares alrededor de un foco se puede describir mediante

$$r = \frac{p}{1+e\cos(\phi-\phi_0)}\text{,}$$ dónde $e$es la excentricidad, y las órbitas individuales son proporcionales, tenemos intersección si, y solo si, $$\frac{1-e}{1+e}\leq \frac{m_1}{m_2}\leq\frac{1+e}{1-e}\text{,}$$ como los ábsides ocurren cuando el término coseno es $\pm 1$.