¿Qué determina el punto de desbordamiento de energía a modos superiores de un resonador de onda estacionaria?

Generalmente, en los sistemas lineales los modos son independientes. La energía no fluye de un modo a otro. Lo que causa el acoplamiento es una no linealidad. La no linealidad se revela en amplitudes más altas (los términos no lineales son pequeños en amplitudes pequeñas). Por lo tanto, cuando empuja la varilla solo un poco, la energía SÍ va a los armónicos más altos, pero el acoplamiento es débil y solo fluye una pequeña fracción de la energía. A medida que impulsa el primer modo más fuerte, la no linealidad se vuelve más y más pronunciada y puede detectar el intercambio de energía entre los modos.

¿Qué tipo de no linealidad? En primer lugar, existe la no linealidad material. La ley de Hooke es solo una aproximación lineal; en realidad, las fuerzas elásticas no tienen un desplazamiento lineal. En segundo lugar, existe la no linealidad geométrica que tiene en cuenta el cambio en la geometría de una estructura a medida que se deforma. También puede haber causas de no linealidades más específicas del sistema.

EDITAR: no estoy seguro de que en esta demostración conduzca solo el primer modo. Entonces, además del acoplamiento de modo, puede haber solo excitación directa de armónicos más altos por conducción.

Una posible respuesta para eso podría ser que si tienes una cuerda con la longitud$L$, tienes una frecuencia$f$como la primera frecuencia armónica con$T=\frac{1}{f}$como el tiempo entre dos máximos de amplitud. Este tiempo está determinado por la frecuencia con la que la onda puede propagarse en la cuerda y, por lo tanto, está ligado a la velocidad del sonido en la cuerda.

$$\nu = \left(\frac{E}{\rho}\right)^\frac{1}{2}$$
La energía de una onda con una longitud de onda $\lambda$sobre una longitud de onda es igual a $$E_\lambda=\frac{1}{2}\mu\omega^2A^2\nu$$ con $\mu$es igual a la masa por unidad de longitud de la cuerda, $A$la amplitud de onda y $nu$la velocidad de las ondas que se mueven en la cuerda. Entonces, en conjunto: si tenemos una onda estacionaria en la frecuencia básica, la energía es $E_0$con $$E_0 = \frac{1}{4}\mu\omega_0^2A^2\nu$$ Aquí solo tenemos $\frac{1}{4}$porque solo tenemos la mitad de la longitud de onda. Al aumentar la frecuencia para que obtengamos el siguiente armónico con $\lambda_1 = \frac{1}{2}\cdot\lambda_0$, obtenemos una energía de $$E_1 = \frac{1}{2}\mu\omega_1^2A^2\nu = \frac{1}{2}\mu\omega_0^2\cdot4\cdot A^2\cdot\nu = 4\,E_0$$ como energía adicional, y la energía total en el sistema es $$E = E_1 + E_0$$ Esto también se puede continuar para frecuencias más altas, por lo que la energía completa en el sistema es $$E = \sum_i E_i$$ Por lo tanto, diría que si pones energía en el sistema, se estimulan todos los modos, pero no puedes ver los modos superiores debido a la mayor cantidad de energía que se necesita. Las constantes del material son completamente lineales en este cálculo.
Descargo de responsabilidad: es posible que no esté del todo en lo cierto y podría haber algunos errores de cálculo.