¿Qué desarrollos/descubrimientos matemáticos hicieron que los números imaginarios ganaran aceptación en el momento (siglo 18) que lo hicieron?

El primer uso serio de los números complejos es encontrar las raíces de polinomios cuadráticos, cúbicos y cuárticos. Cardano, en su Ars Magna (1545), fue el primero en demostrar que las ecuaciones cuadráticas podían tener (formalmente) raíces complejas, aunque no las llamó así; dijo que eran "tan sutiles como [son] inútiles". En el texto de álgebra de Bombelli (1572), desarrolló las reglas de la aritmética compleja y demostró que la fórmula de Cardano para la cúbica podía conducir a soluciones reales aunque los resultados intermedios fueran imaginarios. Por cierto, me han dicho en múltiples ocasiones que la notación$i= \sqrt{-1}$solo se desarrolló para protegerse contra el error común de 'probar'

$$(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$$

Una idea clave que se logró a principios del siglo XVIII es la profunda conexión entre los números complejos y la geometría. Se observó que$i$se puede usar para simplificar muchas identidades trigonométricas, y en 1748 Euler descubrió su famosa y hermosa fórmula

$$e^{it}=\cos t+i \sin t$$ (La derivación era bastante diferente de la que normalmente se presenta en los libros de texto de hoy; véase esta entrada en la serie Cómo lo hizo Euler ).

La concepción de un número complejo como un punto en el plano es otro descubrimiento digno de mención. Esta construcción ya fue utilizada por Wessel en 1799 , y fue redescubierta de forma independiente por Argand, pero realmente ganó popularidad cuando Gauss publicó su tratado sobre números complejos. Este libro también estableció gran parte de la notación y la terminología modernas que se utilizan en el análisis complejo.

Solo para complementar la respuesta de Danu. Algunas personas usaron números complejos desde el siglo XVI, sin embargo, la AMPLIA aceptación llegó más tarde (a fines del siglo XVIII) cuando varias personas (Argand, Vessel, Gauss) descubrieron la interpretación geométrica.

Aparentemente, este fue un paso crucial. Aún así, no fueron reconocidos universalmente. Dicen que incluso Chebyshev nunca los usó.

Otro hecho que puede ser significativo: a principios del siglo XIX, los físicos comenzaron a utilizarlos (Fresnel).

Además de la necesidad en el cálculo de raíces de polinomios cúbicos, hay otro papel más fundamental que juegan los números complejos en las ecuaciones polinómicas, que recién comenzó a apreciarse en el siglo XVII. Este papel se expresa a través del teorema fundamental del álgebra , que dice que cualquier ecuación polinomial no constante tiene al menos una raíz, si permitimos que los números complejos sean raíces. es decir, si$a_0,a_1,\ldots,a_n$son números reales tales que al menos uno de$a_1,a_2,\ldots,a_n$es distinto de cero, entonces la ecuación

$$\begin{equation}\label{e:polynomial-x-0} p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 = 0 , \end{equation}$$ tiene solución, siempre y cuando $x$puede tener valores complejos. Si $a_1=a_2=\ldots=a_n=0$, entonces la ecuación $p(x)=0$se convierte $a_0=0$, que no tiene ninguna solución (compleja) cuando $a_0\neq0$. Así que la condición de que al menos uno de $a_1,a_2,\ldots,a_n$es distinto de cero (es decir, $p(x)$no es constante) es simplemente descartar este caso trivial. El teorema fundamental del álgebra es milagroso porque los números complejos están diseñados para resolver cualquier ecuación cuadrática, y es concebible a priori que necesitamos introducir un nuevo tipo de "número" cada vez que aumentamos el grado de una ecuación polinomial. La primera formulación del teorema fundamental del álgebra la dio Albert Girard (1595-1632) en 1629, aunque no intentó una demostración. De hecho, las demostraciones rigurosas de este teorema no aparecieron hasta principios del siglo XIX, lo que, dicho sea de paso, marca el comienzo de una era en la que la existencia y la utilidad de los números complejos eran ampliamente aceptadas.

Cualquier duda sobre la existencia e importancia de los números complejos se despejó por completo después del desarrollo del análisis complejo , también conocido como teoría de funciones .. La motivación inicial para estudiar funciones de variable compleja fue usarlas para calcular (o simplificar) integrales definidas reales, y los trabajos pioneros en esta dirección fueron realizados por Euler y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) alrededor de 1760-1780. Su investigación fue retomada más tarde en la década de 1810 por Augustin Louis Cauchy (1789-1857), quien se dio cuenta en 1821 de que las funciones complejas tienen una rica teoría propia. Gauss llegó a la misma comprensión ya en 1811 y desempeñó un papel importante en la popularización de los números complejos, pero no contribuyó directamente al desarrollo del análisis complejo. Así, aproximadamente entre 1820 y 1850, Cauchy desarrolló por sí solo todos los resultados básicos del análisis complejo, quizás con la excepción de la serie de Laurent, que apareció por primera vez en un artículo presentado por Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) en 1843.