¿Cuál era la conexión entre David Hilbert y Stefan Banach?

Vale la pena señalar que la definición abstracta de un espacio de Hilbert (como un espacio de producto interno completo) no se debe a Hilbert. Weyl relata la historia en su ensayo conmemorativo, "David Hilbert y su trabajo matemático" (Bull. Amer. Math. Soc. v.50 p.612--654). En su trabajo sobre ecuaciones integrales, Hilbert investigó solo un espacio de Hilbert en particular: el espacio de secuencias infinitas sumables al cuadrado. No utilizó la integración de Lebesgue; solo más tarde Riesz y Fischer mostraron la equivalencia con las funciones integrables en el cuadrado de Lebesgue. Weyl agrega:

Menciono estos detalles porque el orden histórico de los acontecimientos puede haber caído en el olvido con muchos de nuestros jóvenes matemáticos, para quienes el espacio de Hilbert ha asumido esa connotación abstracta que ya no distingue entre las dos realizaciones...

(También hay una historia apócrifa de que Hilbert asistió a una conferencia y se acercó al final para preguntarle al orador: "¿Qué es un espacio de Hilbert?")

Banach, por el contrario, dio la formulación abstracta de los espacios de Banach en su disertación, junto con su motivación:

El presente trabajo tiene por objeto establecer ciertos teoremas que se cumplen en diversas ramas de las matemáticas, los cuales se especificarán más adelante. Sin embargo, para evitar probar estos teoremas para cada rama individualmente, lo que sería muy fastidioso, he elegido una forma diferente, que es esta: considero de manera general conjuntos de elementos para los que postulo ciertas propiedades. De estos deduzco teoremas y luego demuestro para cada rama separada de las matemáticas que los postulados adoptados son verdaderos para ella.

En otras palabras, Banach busca la economía de la prueba a través del método axiomático. Por lo tanto, su motivación es completamente diferente de la de Hilbert.

Para volver a su pregunta original: no he podido descubrir ninguna conexión personal entre Hilbert y Banach. El nombre "Banach" no aparece en el índice de la biografía Hilbert de Constance Reid ; la entrada de MacTutor para Hilbert no contiene "Banach", y la entrada de MacTutor para Banach contiene solo una aparición de Hilbert, donde señala que el trabajo de Banach "generalizó las contribuciones hechas por Volterra, Fredholm e Hilbert sobre ecuaciones integrales".

Sin embargo, esa oración es probablemente una explicación suficiente. Hilbert hizo su trabajo sobre ecuaciones integrales a principios del siglo XX, y pronto Riesz, Fischer, Schmidt y otros lo desarrollaron aún más. La disertación de Banach fue escrita en 1920. No es de extrañar que al entrar en este campo, Banach prestara mucha atención al trabajo relevante publicado por uno de los matemáticos más destacados de la época.

Que yo sepa, no existe una conexión particular entre Hilbert y Banach. Por supuesto, siendo Hilbert uno de los matemáticos más dominantes de la época, su influencia se extendió ampliamente.

Sin embargo, también sería erróneo considerar primero a Hilbert y luego a Banach como una sucesión directa. Hubo varias influencias y contribuyentes en el desarrollo de lo que ahora son los espacios de Banach. [De hecho, la noción fue introducida casi en paralelo por otros también, Wiener en particular. (Banach fue el que más lo aprovechó y con razón obtuvo el "crédito del nombre")] Otros nombres que uno podría mencionar además de Hilbert incluyen Fredholm, Riesz, Fischer, Fréchet, Lebesgue.

A saber, la cronología en la Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales de Pietsch tiene 12 entradas (a partir de 1902) antes de la tesis de Banach en 1920.

En este contexto, también podría ser digno de mención que Banach visitó París en 1924-25.

No hay registro conocido de ningún encuentro personal entre Banach y Hilbert. Pero la conexión no tan aleatoria entre los dos fue Hugo Steinhaus (descubridor de Banach, y luego colaborador y colega), quien fue estudiante de doctorado de Hilbert en Göttingen. La tesis de Steinhaus, titulada Neue Anwendungen des Dirichlet'schen Prinzips , defendida en 1911, era todavía bastante tradicional en su enfoque de los problemas variacionales para ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden.

Por otro lado, la tesis doctoral de Banach O operacjach na zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do równań cał kowych [Sobre operaciones sobre conjuntos abstractos con aplicaciones a ecuaciones integrales] defendida en Lwów en 1920, introdujo nociones y propiedades fundamentales de los espacios completos lineales normados (en una manera axiomática), y los aplicó a operadores integrales definidos por núcleos. La tesis real de Banach y su defensa se convirtió en materia de leyendas, pero al menos hay una publicación basada en la tesis, S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales }, Fundamenta Mathematicae 3 (1922) , págs. 133-181. En la introducción, Banach menciona el trabajo anterior sobre "operaciones funcionales" de Volterra, Fréchet, Hadamard, F. Riesz, Pincherle, Steinhaus, Weyl, Lebesgue y otros. Él acredita particularmente los trabajos de Hilbert, que según él permitieron el tratamiento de (los espacios de) funciones integrables cuadradas, no solo funciones suaves. Esto también es evidencia de que Banach estudió las obras de Hilbert antes de visitar París.

Además, en 1917, tanto Banach como Steinhaus vivían en Cracovia y participaban en las reuniones de una sociedad matemática informal. Otros miembros de este grupo eran los matemáticos Wlodzimierz Stozek, Wladyslaw Slebodzinski, Leon Chwistek (también filósofo y pintor) y el físico Jan Norbert Kroo, todos los cuales pasaron algún tiempo estudiando en Göttingen.