QFT "finitos" y singularidades de corta distancia y funciones beta que desaparecen

No estoy seguro de poder enmarcar esta pregunta de manera lo suficientemente coherente: surge de varias cosas en QFT sobre las que he estado pensando y leyendo recientemente. Puede ser que estos pensamientos estén mal dirigidos, ¡pero aun así ayudaría saber por qué lo están si es así! Me gustaría escuchar algunas discusiones sobre esto.

  • Supongo que hay QFT que son "exactos" o "finitos", ya que no requieren un regulador o corte para definir su función de partición (... y supongo que uno puede evaluar la función de partición exactamente...) Supongo que los QFT "finitos" realmente no triviales serían los que son tan uniformes en espacios-tiempos no compactos. ¿Existen tales?

  • Supongo que existen QFT que tienen una función beta 0 no perturbativa. (me gusta norte = 4 SIM?)

¿Están relacionadas las dos propiedades anteriores?

Al igual que ser "finito" implica que tiene exactamente 0 función beta o por el contrario? (... parece que no... ver más abajo...)

  • Supongo que los CFT (... o cualquier QFT que se encuentre en un cero de su función beta - ¿"crítico"? ...) por definición tienen una función beta 0 pero tienen OPE no triviales provenientes de singularidades de corta distancia. De alguna manera, esto no es intuitivo porque uno habría pensado ingenuamente que un gran momento es como una distancia corta y, por lo tanto, si la teoría no requiere un regulador y, por lo tanto, no tiene una gran divergencia de momento, tampoco debería tener ninguna singularidad de corta distancia. Pero esto parece estar mal, por lo tanto, supongo que uno se hace pensar que tener una función beta exactamente 0 no tiene nada que ver con que la teoría sea finita.

No me queda claro que exista una relación directa entre tener singularidades de corta distancia y si las integrales del espacio de impulso divergen o no (... lo que posiblemente debería implicar que la función de partición también diverge ...) (... Como Yuji Tachikawa en los comentarios señala el caso simple de que incluso la teoría del bosón libre tiene una singularidad de corta distancia, pero dado que no hay procesos de bucle en ella, supongo que no tiene sentido preguntar si las integrales del espacio de impulso convergen, pero supongo que su función de partición no siempre está bien. definido..)

Como en la página 441, Weinberg en su volumen 1 de sus libros QFT, dice en cursiva que "la renormalización de masas y campos no tiene nada que ver directamente con la presencia de infinitos y sería necesaria incluso en una teoría en la que todas las integrales del espacio de momento fueran convergente"

Para resumir mi consulta, es una que dice que existen múltiples fuentes de infinito conceptualmente diferentes en un QFT como,

  1. divergencia de las integrales del espacio de momento
  2. singularidad de corta distancia
  3. funciones de partición divergentes
  4. constantes de acoplamiento enviadas al infinito por la función beta

(.Pensé en agregar también el fenómeno del polo de Landau en la lista anterior, pero supongo que no es una propiedad tan fundamental y es solo una indicación de la falla de la técnica de perturbación... pensé que podría estar equivocado...)

Entonces, ¿hay alguna manera de pensar en estos infinitos "diferentes" como causa y efecto el uno del otro?

¿O es posible que cualquier combinación de estos pueda aparecer en algún QFT?

Y/¿Cómo se relacionan estos con la propiedad de que la función beta es 0 no perturbativamente o no? (...excepto en el caso "por definición" de que la función beta 0 no perturbativa (4) no puede ocurrir...)

Por favor reformule su pregunta. Incluso una teoría de los bosones libres ϕ tiene una singularidad de corta distancia en su función de dos puntos ⟨ ϕ ( X ) ϕ ( y ) ⟩ .
@Yuji: ¿Esta función de punto de remolque está involucrada en los cálculos de la evolución de un campo de bosones libres?
@Yuji Gracias por el comentario, reformulé algunas de las oraciones. Sí, la teoría del bosón libre es un ejemplo de una QFT donde la función de dos puntos diverge y esa teoría no necesita un regulador, pero supongo que no es "finita" ya que su función de partición probablemente no sea convergente. ¿Ese determinante funcional siempre tiene un significado finito? Ese es el punto de mi confusión: ¿qué relación hay entre estas propiedades de (no) tener una singularidad de corta distancia, (no) tener una función beta no trivial y (no) tener una función de partición finita? Estaría encantado si explicas
De acuerdo con Yuji, pregunta demasiado vaga. Claramente, la finitud no implica invariancia conforme. Por ejemplo, tome un campo libre masivo. Todas las funciones de correlación en puntos separados son finitas pero la teoría no es conforme. Alternativamente, tome N=4 deformado por un término de masa. El UV no conoce la masa, por lo que todas las funciones de correlación de todos los campos fundamentales son finitas. La teoría es claramente no conforme. Además, una teoría conforme no tiene por qué ser finita. Uno solo necesita exigir que las divergencias conspiren para ser tales que puedan ser eliminadas por una redefinición de campo.
@Zohar Komargodski Gracias por su respuesta. No sé cómo hacer la pregunta precisa, pero supongo que los expertos como usted sabrán cuál es el concepto que explica por qué estoy confuso. Además, no sé cuál es la terminología correcta: POR "finito", no quise decir que las funciones de correlación son finitas en una separación finita distinta de cero; estaba usando ese término para indicar que la función de partición está bien definida, es decir no necesita regulador, etc.
@Zohar Puede ser que pueda elaborar más sobre la conexión entre ser conforme (función beta 0 no perturbativa) y los 4 tipos "diferentes" de singularidades que enumeré.
@Anirbit, incluso en la teoría de campo libre, hay una integral de bucle que diverge: es decir, un diagrama de un bucle sin ningún vértice. Esto corresponde a la energía de punto cero de los osciladores libres, lo que hace que la función de partición diverja en el UV. Entonces, sus puntos 1, 2, 3 ya se aplican a la teoría de un bosón libre y siempre están ahí.
cinco centavos más: en QM, que probablemente conoces bien, la función de partición es divergente. Entonces, tener la función de partición divergente en QFT no debería ser demasiado alarmante. Tampoco hay conexión a priori entre 1 y 4. Hay muchas teorías con divergencias (es decir, QCD) que nunca alcanzan un acoplamiento infinito o cualquier otra singularidad.
Creo que la observación clave que está buscando es que un CFT no requiere renormalización. Esto se debe a que una forma de pensar en la renormalización es dejar que las constantes de la teoría dependan del corte UV, pero para una CFT no puede haber tal dependencia debido a la simetría de escala.
@Zohar Que la función de partición sea divergente no es sorprendente, pero lo que quiero entender es si eso está relacionado de alguna manera con las otras formas de divergencia como la de los gráficos de Feynman, ¿singularidades de corta distancia?
@Yuji Sí ... la teoría del campo libre tiene todo este tipo de singularidades. El punto es sobre cuáles son los posibles subconjuntos de estas cosas "malas" que puede tener un QFT. (... como Weinberg en esa declaración señala que la renormalización puede ocurrir incluso cuando todos los gráficos convergen ...) O, lo que es más importante, ¿la desaparición no perturbativa de la función beta de alguna manera previene cualquiera de estas 4 singularidades? ¿Es la singularidad de corta distancia una característica esencial de cualquier QFT? ¿Hay QFT finitos en espacios-tiempos no compactos?
Anirbit: El propósito de mi ejemplo de QM fue mostrar que no existe una relación entre las divergencias de la función de partición y las divergencias de las funciones de correlación en puntos separados. De hecho, en QM estos últimos están ausentes.
@Zohar Supongo que se está refiriendo a ejemplos de QM con un espectro infinito donde la convergencia está en duda, pero para sistemas de estado finito, la función de partición será solo un número finito. ¿Hay análogos de esto en QFT? Esto está relacionado con lo que estaba preguntando inicialmente: ¿hay QFT no triviales (¡o no!) en tiempos espaciales no compactos que tienen una función de partición finita? En un espacio-tiempo compacto, ¿la función de partición es siempre finita? ¿La desaparición o no de la función beta tiene algo que decir sobre la finitud de la QFT?
La función de partición siempre sería divergente en volumen en un espacio no compacto. En un espacio compacto, aún podría ser UV divergente, pero a veces la divergencia UV podría cancelarse (por ejemplo, si hay SUSY). Como traté de sugerir, nada de esto tiene nada que ver con la función beta.
@Zohar Esa es una declaración bastante emocionante que usted hace de que la función beta, que no es perturbadoramente 0, no tiene ningún efecto sobre las posibles divergencias de la función de partición o las funciones de correlación. ¿Puede dar ejemplos o referencias para SUSY QFT donde se cancela la divergencia UV de las funciones de partición? ¿Y estás diciendo que nada puede salvar la divergencia en el espacio-tiempo no compacto? ¿Qué sabemos sobre la función de partición o las correlaciones de 2 puntos de N=4 SYM que tiene una función beta 0 no perturbadora?

Respuestas (1)

Esta es una pregunta bastante sutil ya que también a nivel clásico los parámetros de la teoría podrían resultar redefinidos de manera finita. Pero, por lo que sabe, somos muy buenos con las teorías libres y estas ocurren principalmente como puntos fijos para teorías conocidas. Si quieres un ejemplo, puedes echar un vistazo a la teoría del campo escalar. Puede considerar una acción estándar como

S = ∫ d 4 X [ 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 − λ 4 ϕ 4 ]

Esta teoría es trivial y esto significa que alcanza un punto fijo trivial tanto en el ultravioleta como en el infrarrojo que hace que sea inútil describir la física a menos que se introduzca explícitamente algún punto de corte en alguna parte. Pero en el infrarrojo obtendrá una función beta como

β ( λ ) = 4 λ + C 1 λ + O ( 1 / λ )

y así, si tiene un acoplamiento de arranque λ = λ 0 obtendrá un acoplamiento en funcionamiento que va a cero como pags 4 momentos de descenso. La teoría se vuelve libre pero estas excitaciones libres son todas masivas con una masa proporcional a λ 0 1 4 como también se puede ver en los cálculos de celosía. Se puede ver a partir de esto que, a pesar de que estamos tratando con un punto fijo trivial, ¡todos los parámetros de la teoría resultan ser propiamente redefinidos y de una manera finita!

El significado de esto es que la renormalización simplemente expresa una propiedad física de una teoría cuántica: el simple hecho de que la interacción cambia todos los parámetros de una teoría dada cuando se activan los acoplamientos. Pero un rastro de esto se puede encontrar en los puntos fijos de la teoría misma.

Ahora, si observa la teoría clásica, podrá resolverla exactamente, pero las soluciones no tienen energía finita a menos que trabaje con un volumen finito o redefina el acoplamiento. λ , exactamente como sucede con la teoría cuántica. También en este caso obtendrá una masa incluso si comenzó desde una teoría sin masa y su acoplamiento funcionará.

Nuevamente, vemos que el efecto de la interacción, el hecho de que el acoplamiento λ no es cero, es exactamente modificar todos los parámetros de una teoría.

Como puede ver, esto es cierto independientemente del hecho de que esté lidiando con infinitos o no.

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