¿Por qué la energía del estado fundamental del Modelo XXZ de Heisenberg es ilimitada para algunos valores de JJJ?

Por el momento, estoy estudiando numéricamente el modelo XXZ de Heisenberg. El hamiltoniano se da a continuación:

H = ∑ j = 1 norte − 1 ( j S j z S j + 1 z + k 2 ( S j + S j + 1 − + S j − S j + 1 + ) )
dónde j y k son parámetros de acoplamiento. Pude calcular la forma matricial de la multa hamiltoniana, pero tengo una pregunta:

Recientemente calculé el estado propio del suelo v 0 , y a partir de aquí calculó la energía del estado fundamental ϵ 0 = ⟨ v 0 | H | v 0 ⟩ . Tenga en cuenta que la matriz hamiltoniana H está normalizado. cuando me puse k = 1 y trama ϵ 0 contra j , encuentro que, por j < − 1 y j > 1 , la energía del estado fundamental es − 1 . Sin embargo, por − 1 < j < 1 , obtengo un comportamiento extraño, es decir, la energía se acerca al infinito negativo como j → 0 . ¿Es este el comportamiento esperado o estoy haciendo algo mal? ¿Qué está causando esto?

Hola, usuario 55394. Preferimos tener una pregunta por publicación. He editado sus otras preguntas, pero puede publicarlas por separado. (Sin embargo, la pregunta n. ° 2 podría no ser apropiada para este sitio; creo que es demasiado abierta).
El modelo XXZ como j → 0 se vuelve equivalente a un sistema de celosía libre de Fermi a través de la transformación de Jordan-Wigner . Esto ciertamente tiene una energía de estado fundamental finita, por lo que parece que ha cometido un error en alguna parte. Sugeriría calcular el estado fundamental en el j = 0 limite analíticamente, usando la transformación JW y luego comparándolo con sus resultados numéricos para encontrar el error.

Respuestas (1)

Esto es ciertamente inesperado, ya que, como comentó Mark Mitchison, el j = 0 El modelo de Heisenberg es equivalente a los fermiones libres en una dimensión. Además, sospecho que algo anda mal incluso antes de eso, porque el j = − 1 es el modelo ferromagnético y j = + 1 el antiferomagnético, y ciertamente tienen diferentes energías de estado fundamental.

De hecho, por j ≤ − 1 es trivial que el estado fundamental consiste en todos los espines alineados, el estado | ↑ . . . ↑ ⟩ . En este caso es fácil verificar a partir del hamiltoniano que la energía de dicho estado fundamental es mi F = j norte 4 , donde asumo que estás trabajando con giro medio.

Ahora el modelo XXZ de Heisenberg se puede resolver exactamente por medio de Bethe Ansatz . Desafortunadamente, Bethe Ansatz no es particularmente bueno para los cálculos analíticos, pero es muy fácil evaluar el estado fundamental en el límite termodinámico. norte → ∞ . Me limitaré a citar el resultado, que es una generalización directa del del libro de Giamarchi .

Para − 1 ≤ j ≤ 1 el estado fundamental tiene espín total cero, y se denota por mi la energía del estado fundamental y mi F la energía del estado fundamental ferromagnético, tenemos en el límite termodinámico que

mi − mi F norte = − ( j + 1 ) 2 0.693 − ( j − 1 ) 2 0.307 ,

donde las constantes 0.693 y 0.307 se obtienen por integración numérica. Para cadenas largas, digamos norte mayor que 10 , el límite termodinámico debería ser una buena aproximación, por lo que puede usarlo para compararlo con sus resultados numéricos.

¿Por qué la energía del estado fundamental del Modelo XXZ de Heisenberg es ilimitada para algunos valores de JJJ?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v