Diagonalización del modelo de Hubbard para fermiones sin espín en el espacio kkk 1D

En el espacio real, escribimos el vector base para fermiones sin espín en notación binaria, por ejemplo, si hay$M=4$sitios en el sistema y$N=2$fermiones entonces los vectores base serán:$0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100$. hamiltoniano en forma numérica ($H=-t\sum_{<j,j+1>}(c_j^\dagger c_{j+1}+h.c.)+U\sum_{<j,j+1>}n_jn_{j+1}$) se puede escribir simplemente usando operaciones bit a bit de C/C++, Fortran o MATLAB. Uno puede ver saltando parte de$H$está fuera de la diagonal y la parte de interacción es diagonal en el espacio real.

Cuando trabajamos en el espacio de Fourier, Hamiltonain se convierte en

$$\tilde{H}=\sum_k\epsilon_k\tilde{c_k^\dagger}\tilde{c_k} + \sum_k\tilde{U_k}\tilde{n_k}\tilde{n_{-k}}$$ con$\epsilon_k=-2t\cos{k}$y$\tilde{U}_k=\frac{1}{L}\sum_j U(j) e^{-ik.j}$como se explica en este pdf .

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Lo que no puedo entender es cómo definimos nuestro vector base en el espacio de Fourier.

Mi entendimiento al respecto:

Lo que he entendido de esto es que tengamos una línea 1D de$-\pi$a$+\pi$(zona de primer billón) en la que$k$los puntos se definen discretamente. Si tenemos M=4 y N=2 entonces conjunto de$k$-puntos es$-\pi$,$-\frac{\pi}{2}$,$+\frac{\pi}{2}$,$+\pi$
Ahora, considerando estos 4 puntos como sitios en los que pueden residir los fermiones, nuestros vectores base se pueden dar nuevamente como se dieron en el espacio real, es decir$0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100$.
Por simplicidad tomo límite$U=0$y calcule el hamiltoniano para el caso del espacio real y de Fourier.
ESPACIO REAL:

$$H_{R}=-t\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0& 1& 1& 0& -1\\ 0 & 1& 0& 0& 1& 0\\ 0 & 1& 0& 0& 1& 0\\ -1 & 0& 1& 1& 0& 1\\ 0 & -1& 0& 0& 1& 0\\ \end{bmatrix}$$ Sea t=1 y luego Eigenvalues=[-2, -2, -4.4e-16, 0, 2, 2] (usando la función MATLAB eig() )

ESPACIO FOURIER:

$\tilde{c_k^{\dagger}}\tilde{c_k}=\tilde{n_k}=$operador numérico en el espacio k. Entonces nuestro hamiltoniano para U=0 debería ser diagonal con valores

$$H_{F}= -2t*diagonal[\cos{(\pi/3)}+\cos{\pi}, \cos{(-\pi/3)}+\cos{\pi}, \cos{(-\pi/3)}+\cos{(\pi/3)}, \cos{(-\pi)}+\cos{\pi}, \cos{(-\pi)}+\cos{(\pi/3)}, \cos{(-\pi)}+\cos{(-\pi/3)}]$$

$$=-t\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

para t=1 valores propios=[-2, 1, 1, 1, 1, 4].

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los resultados no coinciden, considero que hay alguna falla en mi método para definir vectores base en$k$-espacio. Por lo tanto, guíe cómo construir correctamente los vectores base en$k$-espacio.