¿Puedo derivar una ecuación combinada para la velocidad de la vela solar?

Primero, necesitamos una ecuación para la aceleración:

$$F = \frac{F_0}{R^2}$$

Una cosa a tener en cuenta es que a esta ecuación le falta un factor (las unidades no funcionan). Técnicamente,$F_0$hay que multiplicar por$1\ AU^2$, de esa manera las unidades se cancelan correctamente.

Suponiendo un ángulo óptimo, entonces:

$$A = \frac{F_0 \cdot 1AU^2}{M\cdot R^2}$$

Dónde$M$es la masa de nuestra sonda. tu citado$F_0$es de 8,25 µN por metro cuadrado de vela. asi que:

$$A = \frac{8.25\cdot 10^{-6} N/m^2 \cdot \text{Sail Area} \cdot 1 AU^2}{\text{Mass} \cdot R^2}$$

Tendremos que convertir nuestro$\text{Sail Area}$a$AU^2$para trabajar con esa ecuación de fuerza y ​​hacer que las unidades se cancelen correctamente.

Sin embargo, podemos reescribir esto como:

$$A = \frac{K}{R^2}$$

Dónde$K$es solo una constante basada en el$\text{Sail Area}$y$\text{Mass}$(habría usado$C$, pero las personas preocupadas podrían confundirlo con la velocidad de la luz).

$$K = \frac{8.25*10^{-6} N/m^2 \cdot \text{Sail-Area} \cdot 1 Au^2}{\text{Mass}}$$

Esto significa que vamos a tener que lidiar con ecuaciones diferenciales.

$$A = \frac{d^2R}{dt^2} = \frac{K}{R^2}$$

$$A = \frac{dV}{dT}$$

$$\frac{d^2R}{dt^2} = \frac{dV}{dT} = \frac{dV}{dR} \cdot \frac{dR}{dT} = \frac{dV}{dR} \cdot V$$

$$\frac{dV}{dR} \cdot V = \frac{K}{R^2}$$

asi que

$$dv*V = \frac{K}{R^2} * dR$$

integrar indefinidamente

$$\frac{1}{2} V^2 = \frac{-k}{R} + P$$

$$V = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$$

$P$es una constante aditiva, una vez más, tratando de evitar el uso$C$. Nuestra constante aditiva$P$dependerá de nuestra velocidad inicial en$1 AU$. Si nuestra velocidad inicial es$0$por ejemplo,

$$\frac{1}{2} 0^2 = \frac{-k}{1 AU} + P$$

$$P = \frac{k}{1 AU}$$

Pero variará en función de esa condición inicial.

Entonces tenemos una expresión para$V$según la distancia al Sol. Sin embargo, sospecho que desea una respuesta en términos de tiempo viajado, no de distancia recorrida (si no, hemos terminado).

asi que$V=\frac{dR}{dt}$asi que

$$\frac{dR}{dt} = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$$ $$\frac{dR}{\sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}} = dT$$

Integrar

En este punto es horrible. Intenté hacer una sustitución de arctan pero nada parecía funcionar. Así que lo descargué en Mathematica.

T = (2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r - k*Log[k + 2*p*r + 2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r])/ (2*Sqrt[2]*p^(3/2))

En este punto tendrías que resolver para$R$en términos de$P$,$K$, y$T$. Algo que no parece una propuesta divertida. Vuelve a conectar eso en tu ecuación de velocidad para obtener la velocidad como una función del tiempo.

Si alguien ve una manera más fácil de terminar con esa matemática, hágamelo saber. Tal vez alguien más pueda tomarlo desde aquí.

En realidad, básicamente se reduce a$T = R-\ln{(R)}$como una horrible aproximación.

Esto realmente tiene mucho sentido. Inicialmente vamos a tener algo que parece algo cuadrático, sin embargo, a medida que avanzamos$10 AU$más o menos (realmente dependerá de las constantes), realmente se vuelve más o menos lineal a medida que la aceleración cae a casi cero y solo vamos a una velocidad de crucero.

Google$x-\ln(x)$y alejar un poco el gráfico para ver.

Entonces, la distancia es más o menos lineal con el tiempo, y$V$golpea alguna constante, que podemos encontrar mirando la ecuación de velocidad.

Podemos tomar el límite de$V = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$como$R$va al infinito. Se vuelve

$$V = \sqrt{2P}$$

es a lo que nuestra velocidad se aproxima asintóticamente. Usando el valor que se me ocurrió para$P$antes usando las condiciones iniciales.

$$\sqrt{\frac{-2k}{R} + \frac{k}{1AU}} = \sqrt{k \left(\frac{1}{1AU} - \frac{2}{R}\right)}$$

Una vez$\frac{2}{R}$es menos de una centésima de$\frac{1}{AU}$hemos alcanzado más o menos nuestra velocidad final (estamos a solo 1/10 de ella).

Asi que

$$\frac{2}{R} = \frac{1}{100 AU}$$

$$R = 50 AU$$

Que resulta estar justo más allá de la distancia orbital de Plutón.

Algo decepcionante. Sin embargo, esto está en línea con la literatura que he leído que muestra que fuera de nuestro sistema solar, las velas solares no son un medio eficiente de propulsión. Por supuesto, esto cambia si tienes algún tipo de sistema láser disparándole.