¿La mecánica clásica contradice la conservación de la energía?

En el paso 1 bajas la masa y esto genera energía. Digamos que almacena esta energía en un resorte y, por el bien del argumento, digamos que la energía almacenada es 1J. La energía tiene que provenir de alguna parte y, por supuesto, proviene de la energía de rotación del toro, por lo que la energía de rotación del toro es ahora 99J.

En el paso 2, reduce la velocidad del toro, tal vez haciendo girar una rueda contraria para conservar el momento angular, por lo que si almacena ¾ de la energía, la energía almacenada es 74¼ J y la energía del toro es 24¾ J.

Ahora vuelves a levantar la masa usando parte de la energía que almacenaste cuando la bajaste. Esta energía se convierte en energía de rotación del disco. En lugar de hacer la suma correctamente, permítanme estimar que se necesita una cuarta parte de la energía que obtuvo al dejar caer la masa para levantarla nuevamente. La masa vuelve a estar donde estaba, le quedan ¾J en su resorte y la energía del toro es ahora 24¾ + ¼ = 25J.

Finalmente sueltas los 74¼J que tienes en tu contrapeso giratorio para hacer girar el toro de nuevo. El toro ahora tiene 25 + 74¼ = 99¼J, y te quedan ¾J en tu resorte. La energía total es 99¼ + ¾ = 100J.

En realidad, si la masa se detiene en relación con el toro después del aterrizaje, la energía del sistema disminuye . Dejar$I$Sea el momento de inercia del toro,$r$Sea el radio de la masa desde el eje de rotación antes de que se deje caer,$R$sea ​​su radio después de aterrizar,$\omega_1$Sea la velocidad angular antes de que se deje caer la masa, y$\omega_2$Sea la velocidad angular después. Entonces$I_1 = I + mr^2$y$I_2 = I + mR^2$.

La conservación del momento angular (sin torsión externa aplicada al sistema) dice:$L_1 = I_1 \omega_1 = L_2 = I_2 \omega_2$.

Por lo tanto,$\omega_2 = \dfrac{I_1}{I_2}\omega_1$. Mientras tanto,$E_1 = \dfrac{1}{2}I_1 \omega_1^2$, y

$E_2 = \dfrac{1}{2}I_2 \omega_2^2 = \dfrac{1}{2}I_2\dfrac{I_1^2}{I_2^2}\omega_1^2 = \dfrac{1}{2}I_1 \omega_1^2 \dfrac{I_1}{I_2} = \left(\dfrac{I_1}{I_2} \right)E_1$.

Desde$I_1 < I_2$, se pierde algo de energía. ¿A dónde va? en calor; la colisión de la masa con el radio exterior del toro es inelástica porque la masa se pega al radio exterior. (Esta es la vieja paradoja de la arena en la cinta transportadora disfrazada).

Paso 1: la energía de rotación$E=1/2 \omega L$aumenta porque$\omega$aumenta (porque I disminuye) y L es una constante ($L=\omega I$). Esto está mal de nuevo en el paso 3:

La energía de rotación del toro no cambia.

Entonces, las energías potenciales de los objetos levantados no son las mismas en ambas situaciones, porque también convertirán la energía rotacional en energía potencial. Cuanta más energía de rotación, más energía potencial adquieren los objetos levantados cuando se elevan.

Mover la masa dentro del objeto giratorio requiere energía: cuando se "baja" contra la gravedad artificial, realiza un trabajo contra la fuerza que resiste este movimiento, por lo que la energía cinética final del sistema con la masa "bajada" no es la misma que antes. La ecuacion:

es la forma más clara de ver por qué esto es así: cuando se conserva el momento angular pero aumenta el momento de inercia, la energía almacenada disminuye.

Paso 1 Se deja caer la masa... La energía de rotación del toro no cambia.

Voy a detenerte allí mismo. Aunque la energía total se conserva, no es necesario conservar la energía de rotación. Recuerde que la energía potencial de los objetos que caen generalmente se convierte en calor cuando golpean el suelo. Sin embargo, el momento angular se conserva en este paso.

De hecho, es simplemente imposible para la energía de rotación ($L^2/2I$) para permanecer igual cuando un objeto giratorio ajusta su distribución de masa sin interactuar con otros objetos (cambio de momento de inercia$I$manteniendo un momento angular constante$L$). Cuando la masa cae, se libera energía y, si no se captura, esa energía se convierte en calor.