Muestre que una matriz de covarianza no negativa completamente real tiene una matriz de precisión con elementos fuera de la diagonal no positivos

Question

Muestre que una matriz de covarianza no negativa completamente real tiene una matriz de precisión con elementos fuera de la diagonal no positivos

inverso
matrices
covarianza
Matemáticas
álgebra lineal

rylan schaeffer

Me dijeron en una conferencia que si una matriz de precisión $J$ tiene elementos fuera de la diagonal no positivos, es decir $\forall i\neq j, J_{ij} \leq 0$ , entonces la matriz de covarianza correspondiente $J^{-1}$ tiene todos los elementos diagonales no negativos, es decir $\forall i \neq j, (J^{-1})_{ij} \geq 0$ . ¿Es cierto lo contrario? ¿Cómo puedo mostrar esto?

Brian Borchers

Porque

J

$J$ es simétrico y PD y tiene elementos fuera de la diagonal no positivos, es una matriz M. La inversa de una matriz M tiene elementos que no son negativos, pero no estoy seguro de que todas las matrices PD con elementos no negativos sean necesariamente matrices M. Comenzaría por buscar en Topics in Matrix Analysis de Horn y Johnson para obtener resultados relevantes.

Respuestas (1)

Muestre que una matriz de covarianza no negativa completamente real tiene una matriz de precisión con elementos fuera de la diagonal no positivos

Porque $J$ es simétrico y PD y tiene elementos fuera de la diagonal no positivos, es una matriz M. La inversa de una matriz M tiene elementos que no son negativos, pero no estoy seguro de que todas las matrices PD con elementos no negativos sean necesariamente matrices M. Comenzaría por buscar en Topics in Matrix Analysis de Horn y Johnson para obtener resultados relevantes.

Brian Borchers · Answer 1

La respuesta es no. Un contraejemplo es:

$A=\left[ \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ \end{array} \right]$

con

$A^{-1}=\left[ \begin{array}{rrr} 0.5833 & 0.5000 & -0.6667 \\ 0.5000 & 1.0000 & -1.0000 \\ -0.6667 & -1.0000 & 1.3333 \\ \end{array} \right]$ .

Este contraejemplo se puede encontrar en

Nabben, Reinhard y Richard S. Varga. "Una prueba de álgebra lineal de que la inversa de una matriz estrictamente ultramétrica es una matriz de Stieltjes estrictamente diagonalmente dominante". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 15.1 (1994): 107-113. http://www.math.kent.edu/~varga/pub/paper_205.pdf

Hola Brian, creo que esto muestra que una precisión no positiva produce una covarianza no negativa, pero pregunté por el contrario, es decir, ¿una covarianza no negativa produce una precisión no positiva?
El documento dice que estas condiciones son "equivalentes", lo que generalmente significa "si y solo si".
Mmm. Profundicé más en esto y creo que el término adecuado para una precisión fuera de la diagonal no positiva es una matriz de Stieltjes ( en.wikipedia.org/wiki/Stieltjes_matrix ) y Wikipedia afirma que si bien cada matriz cuadrada de Stieltjes es invertible a una matriz simétrica no negativa matriz (es decir, la covarianza), pero que lo contrario no es cierto en general para $n>2$
He actualizado la respuesta con un contraejemplo y una referencia.

Muestre que una matriz de covarianza no negativa completamente real tiene una matriz de precisión con elementos fuera de la diagonal no positivos

rylan schaeffer

Brian Borchers

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Brian Borchers

rylan schaeffer

Brian Borchers

rylan schaeffer

Brian Borchers

rylan schaeffer

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