¿Alguien puede proporcionar una prueba matemática de que el VAN siempre es negativo cuando la tasa de rendimiento es menor que la tasa de descuento? Eso es suponer que tenemos
A mi modo de ver, el argumento sería algo así como:
NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t )
= -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
... then some magic happens, then ...
< 0
Pero cómo llegar de principio a fin, no lo sé.
Como anécdota, lo veo como que, dado que r < rd y ambos números se reducirán exponencialmente con el tiempo, nunca habrá un período en el que el flujo de caja devuelto sea mayor que el rendimiento que podría haber obtenido invirtiendo a la tasa de descuento rd, por lo tanto NPV < 0 (y si incluso esta es una forma incorrecta de pensarlo, házmelo saber).
Básicamente, pedir una prueba de que el VAN siempre < 0 siempre que el rendimiento de la inversión sea menor que la tasa de descuento para todos los períodos.
Agradecería una prueba y una explicación (o incluso una explicación sobre por qué esto puede estar tratando de probar algo que no es necesariamente cierto). Gracias.
La tasa interna de retorno es el valor que rsatisface la ecuación
0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
El valor presente neto (VAN) es el valor de la suma de los flujos de efectivo descontados:
NPV = C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n
Como rd > r, para t = 1, ..., n, tenemos las desigualdades simples:
(1 + rd) > (1 + r)
(1 + rd)^t > (1 + r)^t
Tomando la inversa cambia la dirección de la desigualdad:
1 / (1 + rd)^t < 1 / (1 + r)^t
Dado que las infusiones de efectivo son flujos de efectivo negativos, C0 < 0. Pero presumiblemente Ct > 0para todos los períodos de tiempo subsiguientes (es decir, para t = 1, ..., n). Entonces, multiplicando la desigualdad anterior por una cantidad positiva, Ct, conserva la dirección de la desigualdad:
Ct / (1 + rd)^t < Ct / (1 + r)^t
Ahora, mirando la suma término por término,
0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
> C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n = NPV
Esto muestra que si valoráramos un flujo de efectivo (con una inversión inicial seguida de flujos de efectivo positivos) usando una tasa de descuento mayor que la tasa de retorno, entonces el VAN sería negativo.
Suponiendo que la segunda línea debe corregirse a:
NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t ) = -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
Podemos continuar:
= -C0 + summ( (r/(1+rd)^t *C0 )
Así que claramente lo que nos interesa es, es:
summ( (r/(1+rd))^t )
necesariamente < 1? Todos los términos de la suma son positivos, por lo que el valor máximo de la suma ocurre si sumamos hasta el infinito. Dado que r < 1+rd, sabemos que (r/(1+rd))< 1, por lo que la suma hasta el infinito tiene un valor finito. Específicamente, la suma hasta el infinito es:
1
------------ - 1
1 - r/(1+rd)
Multipliquemos la parte superior e inferior de la fracción por 1+rdy expandamos 1
1 + rd 1 + rd - r
---------- - ----------
1 + rd - r 1 + rd - r
Simplificar:
r
----------
1 + rd - r
Lo que me parece que puede ser mayor que 1. Si rd == 5, r = 4, entonces la expresión llega a 4 / 2 == 2, lo que implica que el VPN es mayor que cero.
Esto me parece que está mal (pero con suerte, alguien puede señalar mi error)
Martin Bonner apoya a Mónica
-C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t ), en otras palabras, C0, no Ctsombras de lámparasDrifter