Prueba de que el operador de impulso es hermitiano [cerrado]

Estoy tratando de probar que el impulso pag X operador es hermitiano, mi enfoque es el siguiente

< pag X >   =   ∫ Ψ ∗ ( r → , t ) [ − i h ∂ ∂ X ] Ψ ( r → , t ) d 3 r .

Intento hacer la integración por partes pero no puedo resolver el diferencial, ya que la integración es con respecto a r → y el parcial es con respecto a X .

d 3 r = d X d y d z y puedes integrar por partes

Respuestas (1)

Si solo estás trabajando con pag ^ X , realmente solo te importa la integral sobre x, en lugar de todo el volumen ( d 3 r = d X d y d z ). De todos modos, un operador hermitiano es uno de esos que A † = A . Esto significa que pag ^ † = ( pag ^ ∗ ) ′ = pag ^ donde el primo indica una transpuesta. Una transposición en este caso realmente significa que el operador actúa hacia la izquierda. Suponiendo que las funciones de onda se anulan en el límite de integración, debería poder demostrar que

∫ d X Ψ ∗ ( X , t ) ( pag ^ X Ψ ( X , t ) ) = ∫ d X ( Ψ ∗ ( X , t ) pag ^ X † ) Ψ ( X , t )
Lo que significa que el operador de cantidad de movimiento es hermitiano. Puede ser instructivo resolver esto en 3D donde pag ^ = − i ℏ ∇ → y la integral recorre todo el volumen 3D.

Pero probando a Hermitian sobre X ¿No significa que es hermitiano sobre el volumen?
El operador en cuestión solo depende de x, por lo que si es hermitiano en x, es hermitiano. El mismo procedimiento se aplica a todo el volumen, aunque para probar pag X es hermítica, no necesitas toda la integral de volumen.
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