Preguntas sobre el formalismo de bra-kets y el oscilador armónico

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Preguntas sobre el formalismo de bra-kets y el oscilador armónico

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Estoy aprendiendo los formalismos de Brakets para QM y tengo dificultades para resolver un problema simple.

Para un oscilador armónico, particularmente la Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths P3.34:

Quiero medir el valor esperado del impulso. $p$ como:

⟨ pag ⟩ = ⟨ Ψ | pag | Ψ ⟩

$\langle p \rangle = \langle \Psi | p | \Psi \rangle$

teniendo en cuenta la función de onda

Ψ (X, t) = \sum_{norte = 0}^{1} C_{norte} ψ_{norte} {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ}

$\Psi(x,t) = \sum\limits_{n=0}^{1} c_n \,\psi_n \,e^{-iE_nt/\hbar}$

entonces, mi primer pensamiento fue insertar $\Psi$ en $\langle p \rangle$ como:

⟨ C_{0} ψ_{0} {mi}^{- i {mi}_{0} t / ℏ} + C_{1} ψ_{1} {mi}^{- i {mi}_{1} t / ℏ} | pag | C_{0} ψ_{0} {mi}^{- i {mi}_{0} t / ℏ} + C_{1} ψ_{1} {mi}^{- i {mi}_{1} t / ℏ} ⟩

$\langle c_0 \,\psi_0 \,e^{-iE_0t/\hbar} + c_1 \,\psi_1 \,e^{-iE_1t/\hbar} \,|\, p \,|\, c_0 \,\psi_0 \,e^{-iE_0t/\hbar} + c_1 \,\psi_1 \,e^{-iE_1t/\hbar} \rangle$

pero reconozco que esto es demasiada "fuerza bruta" y me muestra claramente que no entiendo bien cómo calcular con operaciones de bras y kets (y también cuál es el beneficio de esto).

Siguiendo a mi disertante, entendí que estos son valores propios y vectores propios de $\psi$ respectivamente, así que creo que puedo tratar la operación como un producto interno (?) sacando los coeficientes fuera de la operación respetando el orden cuando $c_i^* c_j$ aparecen productos.

De todos modos, sinceramente, no veo lo obvio: ¿cómo debo proceder de manera práctica? ¿Por qué el resultado tiene la forma de un producto? Algo como

(C_{0}^{*} ⟨ ψ_{0} | pag | {mi}^{- i {mi}_{0} t / ℏ}^{*} + C_{1}^{*} {mi}^{- i {mi}_{1} t / ℏ}^{*} ⟨ ψ_{1} | pag |) (C_{0} | ψ_{0} ⟩ {mi}^{- i {mi}_{0} t / ℏ} + C_{1} | ψ_{1} ⟩ {mi}^{- i {mi}_{1} t / ℏ})

$(c_0^* \langle \psi_0|p|\; {e^{-iE_0 t/\hbar}}^* + c_1^* {e^{-iE_1 t/\hbar}}^* \; \langle \psi_1|p|)(c_0 |\psi_0\rangle e^{-iE_0 t/\hbar} + c_1 |\psi_1 \rangle e^{-iE_1 t/\hbar})$

El propio DJ Griffiths afirma que:

Soy consciente de que mi razonamiento no es correcto y no quiero molestar a nadie con la pregunta. Estoy un poco confundido al respecto y quiero entender más.

EDITAR : Siguiendo lo que JEBy Cosmas Zachosestán sugiriendo:

desde $\Psi$ se puede representar como

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} [| 0 ⟩ + {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩] \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} ψ_{0} \\ ψ_{1} {mi}^{i ϕ} \end{matrix})

$|\Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle] \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 e^{i\phi} \end{pmatrix}$

y el valor esperado del impulso es $\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle$ uno puede escribir

⟨ Ψ | = (| Ψ ⟩)^{†} = \frac{1}{\sqrt{2}} [⟨ 0 | + {mi}^{- i ϕ} ⟨ 1 |]

$\langle \Psi | = (|\Psi\rangle)^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}[\langle 0|+e^{-i\phi}\langle 1 |]$

entonces

⟨ Ψ | \hat{pag} | Ψ ⟩ = \frac{1}{2} [⟨ 0 | + {mi}^{- i ϕ} ⟨ 1 | pag | 0 ⟩ + {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩]

$\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = \frac{1}{2} [\langle0| +e^{-i\phi}\langle 1 | p | 0 \rangle + e^{i\phi} |1\rangle]$

ser $\hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}(\hat{a_+}-\hat{a_{-}})$ entonces

⟨ Ψ | \hat{pag} | Ψ ⟩ = 1 / 2 i \sqrt{\frac{ℏ metro ω}{2}} [⟨ 0 | + {mi}^{- i ϕ} ⟨ 1 | | \hat{a_{+}} | 0 ⟩ + \hat{a_{+}} {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩ - \hat{a_{-}} | 0 ⟩ - \hat{a_{-}} {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩]

$\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = 1/2 \, i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}[\langle 0 | + e^{-i\phi} \langle 1 | \Big| \hat{a_+} |0\rangle + \hat{a_+} e^{i\phi} |1\rangle - \hat{a_{-}}|0\rangle - \hat{a_{-}}e^{i\phi} |1\rangle]$

luego distribuyendo los sujetadores a los kets resultantes por la derecha:

= 1 / 2 i \sqrt{\frac{ℏ metro ω}{2}} (⟨ 0 | (\hat{a_{+}} | 0 ⟩ + \hat{a_{+}} {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩ - \hat{a_{-}} | 0 ⟩ - \hat{a_{-}} {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩) + {mi}^{- i ϕ} ⟨ 1 | (\hat{a_{+}} | 0 ⟩ + \hat{a_{+}} {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩ - \hat{a_{-}} | 0 ⟩ - \hat{a_{-}} {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩))

$= 1/2\, i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} ( \langle 0 |(\hat{a_+} |0\rangle + \hat{a_+} e^{i\phi} |1\rangle - \hat{a_{-}}|0\rangle - \hat{a_{-}}e^{i\phi} |1\rangle) + e^{-i\phi} \langle 1| (\hat{a_+} |0\rangle + \hat{a_+} e^{i\phi} |1\rangle - \hat{a_{-}}|0\rangle - \hat{a_{-}}e^{i\phi} |1\rangle) )$

Ahora todos los operadores de subida y bajada actúan sobre los kets próximos a ellos, siguiendo

\hat{a} | norte ⟩ = \sqrt{norte} | norte - 1 ⟩

$\hat{a} |n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle$

{\hat{a}}^{†} | norte ⟩ = \sqrt{norte + 1} | norte + 1 ⟩

$\hat{a}^{\dagger} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle$

y obtengo productos internos de los estados $\psi_0$ , $\psi_1$ y $\psi_2$ ponderado por $\sqrt{n}$ y $\sqrt{n+1}$ .

Esto resulta en:

⟨ pag ⟩ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{metro ω ℏ}{2}} i [⟨ 0 | 1 ⟩ + {mi}^{i ϕ} ⟨ 0 | 2 ⟩ - {mi}^{i ϕ} ⟨ 0 | 0 ⟩ + {mi}^{- i ϕ} ⟨ 1 | 1 ⟩ + \sqrt{2} ⟨ 1 | 2 ⟩ - ⟨ 1 | 0 ⟩]

$\langle p \rangle = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}i [\langle 0 | 1 \rangle + e^{i\phi}\langle 0| 2\rangle - e^{i\phi}\langle 0| 0\rangle +e^{-i\phi} \langle 1|1 \rangle +\sqrt{2} \langle 1|2 \rangle - \langle 1|0 \rangle]$

¿Qué debería hacer después?

Siendo los estados representados por una base ortonormal, el producto interior $\psi_n^*\psi_{n'}$ es 0 si $n \neq n'$ ? es decir,

⟨ pag ⟩ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{metro ω ℏ}{2}} i [⟨ 0 | 1 ⟩ + {mi}^{i ϕ} ⟨ 0 | 2 ⟩ - {mi}^{i ϕ} ⟨ 0 | 0 ⟩ + {mi}^{- i ϕ} ⟨ 1 | 1 ⟩ + \sqrt{2} ⟨ 1 | 2 ⟩ - ⟨ 1 | 0 ⟩] = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{metro ω ℏ}{2}} i [0 + 0 - {mi}^{i ϕ} ⟨ 0 | 0 ⟩ + {mi}^{- i ϕ} ⟨ 1 | 1 ⟩ + 0 - 0]

$\langle p \rangle = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}i [\langle 0 | 1 \rangle + e^{i\phi}\langle 0| 2\rangle - e^{i\phi}\langle 0| 0\rangle +e^{-i\phi} \langle 1|1 \rangle +\sqrt{2} \langle 1|2 \rangle - \langle 1|0 \rangle] = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}i [0 + 0 - e^{i\phi}\langle 0| 0\rangle +e^{-i\phi} \langle 1|1 \rangle +0 - 0]$

DanielSank

¿Ha aprendido acerca de los operadores de subida/bajada?

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@DanielSank ¡Sí, quiero!

Cosmas Zachos

Entonces, ¿cómo utilizaste

\hat{p} \sim i (a^{†} - a) / \sqrt{2}

$\hat p\sim i(a^\dagger -a)/\sqrt{2}$ ?

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Hola @CosmasZachos, te presento

\hat{p}

$\hat{p}$ adentro

⟨ Ψ | \hat{p} | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{p} Ψ ⟩

$\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = \langle \Psi | \hat{p} \Psi \rangle$ y distribuyó las operaciones de subida/bajada. en los kets.

Cosmas Zachos

Sí, a su última pregunta, pero está representando x no p con su expresión.

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@CosmasZachos eso es correcto! No noté ese error, gracias :) Ahora lo arreglé para que sea

\hat{p} = i \sqrt{\frac{ℏ m ω}{2}} (a^{†} - a)

$\hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} (a^\dagger - a)$

JEB

medios ortonormales

⟨ n | n^{'} ⟩ = δ_{n n^{'}}

$\langle n|n'\rangle = \delta_{nn'}$

Respuestas (2)

Preguntas sobre el formalismo de bra-kets y el oscilador armónico

Entonces, ¿cómo utilizaste $\hat p\sim i(a^\dagger -a)/\sqrt{2}$ ?
Hola @CosmasZachos, te presento $\hat{p}$ adentro $\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = \langle \Psi | \hat{p} \Psi \rangle$ y distribuyó las operaciones de subida/bajada. en los kets.
Sí, a su última pregunta, pero está representando x no p con su expresión.
@CosmasZachos eso es correcto! No noté ese error, gracias :) Ahora lo arreglé para que sea $\hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} (a^\dagger - a)$

JEB · Answer 1

Dado que la pregunta es sobre la notación bra-ket, el primer problema es: no lo está utilizando.

El problema establece que la forma general de la función de onda es:

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} [| 0 ⟩ + {mi}^{i ϕ} | 1 ⟩]

$|\psi\rangle = \frac 1 {\sqrt 2}[|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle]$

donde he usado:

H | norte ⟩ = (norte + \frac{1}{2}) ℏ ω | norte ⟩

$H|n\rangle = (n+\frac 1 2)\hbar\omega|n\rangle$

Dado que la fase global es arbitraria, lo puse todo en el coeficiente de la $n=1$ estado base.

A partir de aquí, calcule la expectativa de $\hat p$ expresándolo como una combinación lineal de $a$ y $a^{\dagger}$ . Maximizar en función de $\phi$ , el único parámetro libre.

Tenga en cuenta cuánto más simple es esto que integrar productos y derivados de polinomios de Hermite, incluso si usa:

H_{norte + 1} (X) = 2 X H_{norte} X - H_{norte}^{'} (X)

$H_{n+1}(x) = 2xH_n{x} - H'_n(x)$

Una vez que resuelvas para $\phi_0$ , entonces la evolución en el tiempo para estados estacionarios (base) es directa, como:

| norte : t > 0 ⟩ = {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ} | norte ⟩

$|n:t>0\rangle = e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle$

por lo que la fase de cada componente evoluciona a un ritmo diferente... por lo que los estados que no son estados propios de energía no son estados estacionarios.

Además, la elección arbitraria de $E=0$ significa que es mejor que la fase global sea inobservable.

Hola @JEB, creo que entiendo lo que sugieres, así que edité mi publicación para ser más específico sobre lo que me preocupa. ¿Me podrías ayudar un poco más con eso?

Cosmas Zachos · Answer 2

Está siendo abrumado por una vorágine de símbolos. Su instructor debería haberle enseñado adimensionalización: configuración $m,\omega,\hbar$ a 1 y restablecerlos si es necesario al final. apreciaste

pag = i (a^{†} - a) / \sqrt{2} .

$p=i(a^\dagger-a)/\sqrt{2}.$

Tentativamente, mantenga arbitrarias las fases del estado fundamental y el primer estado excitado, de modo que

| ψ (t) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({mi}^{i α - i t / 2} | 0 ⟩ + {mi}^{i β - i 3 t / 2} | 1 ⟩),

$|\psi(t)\rangle= {1\over \sqrt{2}}\left(e^{i\alpha-it/2}|0\rangle + e^{i\beta -i3t/2}|1\rangle\right ),$ de modo que

\frac{i}{2 \sqrt{2}} ⟨ ψ (t) | a^{†} - a | ψ (t) ⟩ = \frac{i}{2 \sqrt{2}} ({mi}^{- i α + i t / 2} ⟨ 0 | + {mi}^{- i β + i 3 t / 2} ⟨ 1 |) ({mi}^{i α - i t / 2} | 1 ⟩ - {mi}^{i β - i 3 t / 2} | 0 ⟩ + C | 2 ⟩) = - \frac{1}{\sqrt{2}} pecado (α - β + t);

$\frac{i}{2\sqrt{2}}\langle \psi(t)| a^\dagger - a |\psi(t)\rangle \\ =\frac{i}{2\sqrt{2}} \left(e^{-i\alpha +it/2}\langle 0 | + e^{-i\beta +i3t/2}\langle 1 | \right )\left(e^{i\alpha-it/2}|1\rangle - e^{i\beta -i3t/2}|0\rangle +c|2\rangle \right ) \\ = -{1\over \sqrt{2}}\sin (\alpha-\beta +t);$ entonces el maximo es 1/

\sqrt{2}

$\sqrt 2$ . Para ubicar el máximo en t=0 , elige

β = α + π / 2

$\beta = \alpha +\pi/2$ . Sin pérdida de generalidad, puede elegir

α = 0

$\alpha=0$ , entonces

β = π / 2

$\beta = \pi/2$ .

Para convertir a una función de onda espacial (pero ¿por qué?),

Ψ (X, t) = ⟨ X | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({mi}^{- i t / 2} ψ_{0} (X) + {mi}^{i π / 2 - i 3 t / 2} ψ_{1} (X)),

$\Psi(x,t)= \langle x|\psi (t)\rangle= {1\over \sqrt{2}}\left(e^{ -it/2} \psi_0(x) + e^{i\pi/2 -i3t/2} \psi_1 (x) \right ),$ estados numéricos convertidos a funciones de Hermite .

¡Muchas gracias! Supongo que lo que más me confunde es cómo llegaste de $\langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle$ a la expresión de la mano derecha en un solo paso. ¿Es realmente tan "simple"?
Por supuesto que es simple: ese es el punto. Agregué un estado intermedio. Tenga en cuenta que realmente no necesita preocuparse por el coeficiente exacto del segundo estado excitado, ya que se proyecta.

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DanielSank

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