Muestre que existen infinitos pares de enteros positivos (m,n)(m,n)(m,n) st m+1n+n+1m∈Nm+1n+n+1m∈N\frac{m+1}{n }+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N} [duplicado]

encontraré todos los pares$(m,n)$de enteros positivos tales que

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}\in\mathbb{N}.$$ Dejar$k$sea ​​un entero positivo para el cual $$\dfrac{m+1}{n}+\dfrac{n+1}{m}=k\tag{1}$$ para algunos$m,n\in\mathbb{N}$. Tenga en cuenta que$t=m$es una solucion a $$t^2-(kn-1)t+(n^2+n)=0.$$ Sin embargo, hay otra raíz.$t=kn-1-m=\dfrac{n^2+n}{m}$, que es un número entero como$kn-1-m\in\mathbb{Z}$, y que es positivo ya que$\dfrac{n^2+n}{m}>0$. Así, si$(m,n)$es una solución entera positiva de (1), entonces$(n,kn-1-m)=\left(n,\dfrac{n^2+n}{m}\right)$es también una solución entera positiva.

Ahora, supongamos que$(m_0,n_0)$es una solución de (1) tal que$m_0\geq n_0$y$m_0+n_0$es lo más pequeño posible. Si$m_0>n_0$, vemos eso$\left(n_0,\dfrac{n_0^2+n_0}{m_0}\right)$también es una solución, pero

$$n_0+\frac{n_0^2+n_0}{m_0}=n_0+n_0\left(\frac{n_0+1}{m_0}\right)\leq n_0+n_0<m_0+n_0\,.$$ Esto contradice la minimalidad de$m_0+n_0$, y entonces$m_0=n_0$debe sostener De este modo, $$k=\frac{m_0+1}{m_0}+\frac{m_0+1}{m_0}=2+\frac{2}{m_0}\,.$$ Eso es,$(m_0,n_0)=(1,1)$(lo que da$k=4$), o$(m_0,n_0)=(2,2)$(lo que da$k=3$).

En el primer caso,$m_0=n_0=1$y$k=4$. Definir una secuencia$(a_0,a_1,a_2,\ldots)$tomando$a_0=1$,$a_1=1$, y

$$a_{r}=4a_{r-1}-a_{r-2}-1$$ para$r=2,3,4,\ldots$. De ello se deduce que todas las soluciones$(m,n)$con$k=4$tal que$m\leq n$son de la forma$(a_{r},a_{r+1})$para algunos$r=0,1,2,\ldots$. Por ejemplo,$a_2=2$,$a_3=6$,$a_4=21$, y$a_5=77$.

En el segundo caso,$m_0=n_0=2$y$k=3$. Definir una secuencia$(b_0,b_1,b_2,\ldots)$tomando$b_0=2$,$b_1=2$, y

$$b_r=3b_{r-1}-b_{r-2}-1$$ para$r=2,3,4,\ldots$. De ello se deduce que todas las soluciones$(m,n)$con$k=3$tal que$m\leq n$son de la forma$(b_{r},b_{r+1})$para algunos$r=0,1,2,\ldots$. Por ejemplo,$b_2=3$,$b_3=6$,$b_4=14$, y$b_5=35$.

Ecuación:

$$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=a$$ Puedes resolver usando la ecuación de Pell:$p^2-(a^2-4)s^2=1$Entonces las soluciones son:

$$n=2(p-(a+2)s)s$$

$$m=-2(p+(a+2)s)s$$

Y más soluciones:

$$n=\frac{2p(p+(a-2)s)}{a-2}$$

$$m=\frac{2p(p-(a-2)s)}{a-2}$$

También puedes escribir la fórmula de la solución si el coeficiente es tal que la ecuación$p^2-(a^2-4)s^2=4$y aprovechando sus decisiones. Entonces la fórmula tiene la forma:

$$n=\frac{p-(a-2)s+2}{2(a-2)}$$

$$m=\frac{p+(a-2)s+2}{2(a-2)}$$