Creo que la asociatividad y la conmutatividad son muy naturales.

Supongamos que queremos dar una definición abstracta de lo que significa sumar números independientemente del orden . ¿Cuáles son las primeras cosas que vienen a la mente? No importa si sumamos$x$y$y$o$y$y$x$, es decir. conmutatividad. Y (bajo el supuesto de que no somos capaces de realizar múltiples tareas y solo podemos sumar dos números a la vez) no importa qué dos números de$x,y,z$sumamos primero. Ahora, dado que tenemos conmutatividad, tenemos transposiciones y, por lo tanto, permutaciones arbitrarias, por lo que podemos reducir el segundo axioma para fijar un orden$(x,y,z)$y expresarlo como asociatividad.

Ahora la pregunta es si los axiomas son suficientes o si queda algo. De hecho, fijando un orden de los números de una sumatoria, digamos de pequeño a grande, mediante un argumento inductivo vemos que por conmutatividad y asociatividad cualquier sumatoria es igual a la sumatoria con orden fijo. Así hemos encontrado dos axiomas que afirman precisamente que la suma es independiente del orden.

Sin embargo, para la distributividad no tengo una buena explicación. Es bastante natural desde un punto de vista geométrico, pero no me queda claro por qué la conmutatividad, la asociatividad y la distributividad juntas encapsulan todo lo que uno necesita para hacer teoría de números.

Las teorías de Lawvere dan una noción muy abstracta que elude el problema de los axiomas generadores . En lugar de considerar axiomas, que generan la teoría de, por ejemplo, grupos, uno considera toda la teoría a la vez, es decir. no prefiere una relación sobre la otra. Sin embargo, creo que para hacer algo con tales teorías, uno tiene que elegir una base para la teoría. Los tres axiomas anteriores resultaron ser uno, lo que resultó más natural.

Esta pregunta es, por supuesto, bastante vaga y basada en opiniones. Sin embargo, aquí hay algunos "ejemplos motivadores para ilustrar cómo estas propiedades "surgieron" del guiso que contiene todas las identidades arbitrarias".

En primer lugar, debe tener en cuenta que las matemáticas generalmente proceden de lo específico a lo general, lo cual es al revés de cómo se enseña a menudo después de que se han aislado las ideas y propiedades clave. Los matemáticos tampoco son particularmente buenos para mencionar los ejemplos motivadores. Sin esos ejemplos motivadores, puede ser muy difícil ver por qué sus propiedades abstractamente aisladas son tan importantes.

Grupos

Los grupos se modelan completamente en colecciones de automorfismos (más clásicamente, "simetrías"). Los grupos diédricos, es decir, las simetrías de un$n$-gon bajo movimientos rígidos, son ejemplos perfectos. La identidad, la asociatividad y los inversos son obvios para tales grupos de automorfismos "concretos". El teorema de Cayley dice que todos los grupos abstractos se pueden realizar concretamente como un subgrupo de permutaciones.

Campos

Los campos están modelados completamente en dos ejemplos antiguos:$\mathbb{Q}, \mathbb{R}$--y un ejemplo muy antiguo--$\mathbb{C}$. La identidad, la conmutatividad, la asociatividad, la distributividad y los inversos son válidos por claras razones geométricas.

Si estudias sistemas de ecuaciones lineales, seguramente comenzarás con coeficientes de una de estas tres estructuras. Eventualmente los verás geométricamente y, en general, inventarás álgebra lineal (subespacios, bases, núcleos, ...). Podrías escribir tres versiones diferentes de álgebra lineal, una para$\mathbb{Q}$, uno para$\mathbb{R}$, uno para$\mathbb{C}$, pero inmediatamente notará que las pruebas son literalmente idénticas y solo usan identidad, asociatividad, distributividad y división [la conmutatividad generalmente es innecesaria, en realidad; ver anillos de división]. De todos modos, bam, acabas de inventar el concepto general de módulos sobre un campo.

Más allá de esos tres, los siguientes ejemplos más importantes son los campos finitos$\mathbb{F}_p$y campos numéricos,$\mathbb{Q}(\alpha)$. La teoría de Galois hace un excelente trabajo al motivarlos, por ejemplo, la prueba de que no se puede trisecar un ángulo arbitrario considera un campo numérico como un módulo sobre un campo numérico base. Tratar de atacar las ecuaciones diofánticas "localmente" también los motiva. Si aún no ha formulado álgebra lineal para un campo arbitrario, seguramente lo hará en este punto. (Después de esos ejemplos, los campos de función y los campos de residuos están donde está).

Anillos

Los anillos conmutativos se modelan completamente en espacios funcionales. Llevar$X = \{f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\}$. Puede sumar y multiplicar estas funciones (punto a punto) y heredan identidad, conmutatividad, asociatividad y distributividad de$\mathbb{R}$.

Uno restringe rápidamente el tipo de funciones permitidas, típicamente medibles, suaves, continuas, racionales [tan parcialmente definidas] o algebraicas. Cada restricción da como resultado técnicamente una nueva estructura algebraica y, a menudo, desea reemplazar$\mathbb{R}^2$con otros espacios, pero las propiedades más básicas siguen siendo las mismas. Por ejemplo, usando funciones polinómicas de$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$resultados en el$n$-anillo de polinomio variable$X = \mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$. No queremos exigir que la división sea siempre válida, ya que las funciones pueden ser cero en algunos puntos. Así que simplemente no lo requerimos.

Desde un punto de vista puramente algebraico, con mucho, el ejemplo más importante de un anillo conmutativo es un álgebra finitamente presentada sobre un campo,$k[x_1, \ldots, x_n]/(p_1, \ldots, p_m)$. Estos aparecen todo el tiempo "en la naturaleza": modelan con precisión las funciones en un espacio donde dos funciones se consideran equivalentes si tienen los mismos valores en un subconjunto fijo. Por ejemplo, si está haciendo una interpolación polinomial, inmediatamente preguntará qué tan única es su solución. El teorema de la base de Hilbert dice que estos son todos los ejemplos bajo las restricciones de finitud apropiadas.

En el lado no conmutativo, el ejemplo más importante probablemente sea el de los anillos de matrices cuadradas. Estos también son espacios de funciones, es decir, funciones lineales.$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, digamos, donde el producto es composición en lugar de multiplicación puntual.

Otros ejemplos no conmutativos importantes incluyen anillos de grupo (motivados maravillosamente por la teoría de la representación; también se pueden considerar como funciones de valores escalares en el grupo) y álgebras de Weyl (las PDE las motivan muy bien; se pueden considerar como anillos de endomorfismo) . Al estudiar estas cosas, inevitablemente inventarás módulos sobre estos anillos, por ejemplo, aniquiladores, ideales.

Lie álgebras

Como lo mencionaste, diré que las álgebras de Lie se modelan completamente a partir de matrices bajo el conmutador, y la identidad de Jacobi es la principal identidad general disponible. Alternativamente, la identidad de Jacobi es exactamente lo que necesita para decir que la representación adjunta es un homomorfismo de álgebra de Lie, y la teoría habitual del álgebra envolvente universal dice que la identidad de Jacobi es la única identidad algebraica general disponible en este entorno. El teorema de Ado dice que estos son todos los ejemplos bajo las restricciones de finitud apropiadas. Esto luego se "globaliza" a grupos de Lie.

El problema es que estas leyes no parecen obviamente importantes a priori.

Quizás no, si comienzas con los axiomas de Peano.

Pero desde el punto de vista de alguien que aprende a sumar y multiplicar por primera vez, estas serían las propiedades más relevantes e importantes de esas operaciones. Qué si hago$5+9$y obtengo una respuesta diferente de$9+5$? O, ¿y si lo hago?$(5+9) + 4$y resulta ser diferente de$5 + (9+4)$? No parece suceder que los números pequeños funcionen de manera diferente, pero ¿no he llegado a un contraejemplo lo suficientemente grande? Quiero algún tipo de garantía de que producirán el mismo resultado cada vez, que proporcionan estas leyes (y las correspondientes justificaciones informales). Es probable que los estudiantes noten estos patrones de todos modos, por lo que es bueno presentarlos como reglas generales que pueden simplificar el cálculo y ayudar en la comprensión/memorización.

Por lo general, también, los números de conteo no se presentan a los jóvenes estudiantes en los términos hiperformales de la teoría de conjuntos, sino como abstracciones de grupos específicos de objetos que se pueden contar. Entonces, las oraciones anteriores podrían escribirse como: "Si tengo 5 lápices y alguien me da 9, tengo la misma cantidad que si tuviera 9 lápices y alguien me diera 5", y luego se consideran reglas abstractas de inserción de símbolos una vez que su se entienden las aplicaciones específicas.

De todos modos, la mayoría de los objetos en álgebra abstracta (campos, grupos, anillos) o teoría de conjuntos (ordinales, cardinales) surgieron históricamente y están motivados como generalizaciones de los conceptos aritméticos básicos como los números enteros, los números reales, etc. Las matemáticas son fundamentalmente una ciencia de la analogía, y ni siquiera los teóricos de conjuntos más intelectuales aprendieron originalmente que$a + 0 = a$(como un "por ejemplo") para números de conteo ordinarios al considerar las propiedades de las uniones y el conjunto vacío. Entonces, no solo es natural preguntar si esas cosas satisfacen las propiedades de las que ya conocemos, sino que es crucial saber dónde se va a "descomponer" nuestra intuición sobre estos objetos y especificar las propiedades que queremos. continuar usando en cada caso particular.

Pero seguramente podría haber toneladas de pequeñas identidades probadas a partir de los axiomas de Peano, aproximadamente del mismo nivel de dificultad,

¿Como? E incluso si son igualmente fáciles/difíciles, ¿significa eso que son igualmente necesarios , o incluso igualmente útiles ? Si lo fueran, se habrían abierto camino en las aulas para jóvenes estudiantes hace muchas décadas.

No se puede hacer mucha teoría de números sin el esquema del axioma de la inducción y sin la propiedad de Arquímedes (que se deriva de la inducción). Se trata de un orden lineal.$<$que interactúa con$+$y$\times$por$(x<y\implies x+z<y+z)$y$(( x<y\land 0<z)\implies xz<yz).$

Se ha demostrado que si se omite la Inducción de la versión de los axiomas de Peano para$\Bbb N$(o$\Bbb N_0$) que tiene una sola relación-símbolo fundamental$\sigma$(sucesor) entonces no puede probar todas las leyes conmutativas, asociativas y distributivas.