Ayuda sobre cómo preparar el paso inductivo de un ejercicio de inducción fuerte.

tengo el siguiente ejercicio:

"Utilice inducción fuerte para demostrar que F 1 2 + F 2 2 + ⋯ + F norte 2 = ( F norte ) ( F norte + 1 ) dónde F norte en el n-ésimo número de Fibonacci".

Esto es lo que he hecho:

Secuencia Fibonacci - F norte = F norte − 1 + F norte − 2 , F 1 = 1 , F 2 = 1

F 3 = F 2 + F 1 = 2 ; F 4 = F 3 + F 2 = 3 ; F 5 = F 4 + F 3 = 5 etcétera.

*** PASO BASE:

para norte = 1 : F 1 2 = F 1 F 2 ; 1 = 1

para norte = 2 : F 1 2 + F 2 2 = F 2 F 3 ; 2 = 2

para norte = 3 : F 1 2 + F 2 2 + F 3 2 = F 3 F 4 ; 6 = 6

Por lo tanto PAG ( norte ) es cierto para n=1,2,3.

*** PASO INDUCTIVO:

Por favor, ayuda sobre cómo configurar este paso.

Respuestas (1)

Ahora tienes que demostrar que

F 1 2 + ⋯ + F norte + 1 2 = F norte + 1 F norte + 2
es cierto si
F 1 2 + ⋯ + F metro 2 = F metro F metro + 1
es cierto para todos metro ≤ norte .

Procedemos usando la igualdad para metro = norte y luego aplicando la propiedad F norte + 2 = F norte + F norte + 1 .

F 1 2 + ⋯ + F norte 2 + F norte + 1 2 = F norte F norte + 1 + F norte + 1 2 = F norte + 1 ( F norte + F norte + 1 ) = F norte + 1 F norte + 2

Y hemos terminado. Deberías haber notado que solo requerimos la verdad de la ecuación para metro = norte , por lo que una inducción normal hubiera sido suficiente.

Sí, una prueba por inducción normal es evidente, pero tengo que usar inducción fuerte, eso es lo que pide el profesor. De hecho, veo que este paso de inducción es bastante parecido al de la inducción normal. ¿Cuál sería la diferencia?
En inducción normal suponemos PAG ( norte ) y luego probar PAG ( norte + 1 ) . Pero en inducción fuerte se supone PAG ( metro ) para todos metro ≤ norte y luego demuestra PAG ( norte + 1 ) , por lo que podríamos usar la verdad de PAG ( norte − 1 ) o PAG ( norte − 3 ) en nuestro paso inductivo si quisiéramos. Pero en este caso solo necesitamos PAG ( norte ) .
En el Paso base obtuve el resultado para n=1,2,3; así que supongo que el paso inductivo sería: P(j) es cierto para 1 <= j <= k donde k >= 3 y tendría que probar para P(k+1). ¿No debería usar la verdad de P(n-2)? ¿Es correcto mi razonamiento?
El comentario anterior es muy importante para mí, le agradecería mucho si me da una pista. Nuestro profesor usa el enfoque de "P(n-algo)" y me gustaría usarlo también.
En lugar de hacer una inducción "normal/débil", siempre puede hacer una inducción fuerte si lo desea, no cambia nada. Entonces puedes usar PAG ( norte − 1 ) , PAG ( norte − 2 ) etc. en la demostración del paso inductivo. Solo quería decir que, en este caso, la inducción fuerte no facilita la prueba.
Le pido amablemente que proporcione una pista sobre cómo proceder si uso P (n-algo). Digamos, por ejemplo, si uso P(n-2). He estado tratando de definir una estrategia sin éxito. Sospecho que debe ser muy parecido a probar el enunciado condicional normal "si P(k) entonces P(k+1)" que se usa en la inducción normal, pero no he podido desarrollar la estrategia.
No sé si te estoy entendiendo bien, pero en este caso se podría usar PAG ( norte − 2 ) sobre el norte − 2 primeros términos de la suma y luego aplicar repetidamente F k + 2 = F k + 1 + F k . Entonces tenemos F 1 2 + ⋯ + F norte + 1 2 = F norte − 2 F norte − 1 + F norte − 1 2 + F norte 2 + F norte + 1 2 y luego F norte − 2 F norte − 1 + F norte − 1 2 + F norte 2 + F norte + 1 2 = F norte − 1 F norte + F norte 2 + F norte + 1 2 = F norte F norte + 1 + F norte + 1 2 = F norte + 1 F norte + 2
Pero este no es realmente un buen ejemplo de inducción fuerte. Te invito a probar la fórmula de Binet usando inducción fuerte: F norte = 1 5 ( ( 1 + 5 2 ) norte − ( 1 − 5 2 ) norte )
¡¡¡Excelente!!! Muchas gracias, realmente aprecio su apoyo.
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