Explicación combinatoria de por qué n2=(n2)+(n+12)n2=(n2)+(n+12)n^2 = {n \elegir 2} + {n+1 \elegir 2}

cuantos pares de numeros$(k,j)$están ahí para$1\leqslant j,k\leqslant n$? La solución obvia es$n^2$. La otra solución es contar aquellos con$k<j$y aquellos con$k\geqslant j$. Se ve que el primer número es

$$\binom n2$$ el segundo es $$\binom n2+\binom n1=\binom{n+1}2$$

Dado que elegir un subconjunto de dos elementos de un$n+1$El conjunto de tamaño reducido equivale a elegir entre$2$desde el principio$n$elementos o fijación$n+1$y eligiendo uno de los primeros$n$elementos.

(La idea geométrica es que un cuadrado compuesto por$n^2$pequeños cuadrados de tamaño$1\times 1$es la union de dos triangulos formados por$\binom n2$y$\binom{n+1}2$pequeños cuadrados).

$n^2$es el número de enteros no negativos menor que$100_n$.

$2 {n \choose 2}$es el número de enteros no negativos con dígitos distintos menores que$100_n$

${n \choose 1} = n$es el número de enteros no negativos con los mismos dos dígitos menores que$100_n$

Ahora, por supuesto, necesitamos un argumento para${n \choose 2} + n = {n + 1 \choose 2}$.

Hay$n \choose 2$maneras de elegir dos elementos de un conjunto de$n$elementos. Para encontrar el número de formas de elegir dos elementos de un conjunto de$n+1$elementos, incluimos todas las posibilidades desde el$n$subconjunto junto con cada elemento del$n$subconjunto emparejado con el nuevo elemento del$n+1$elemento.

Todas las respuestas publicadas anteriormente son útiles en gran medida. Pero, estoy dando una prueba visual (más que combinatoria).

lo que quieres es

$$\begin{align} &{n\choose 2}+{n+1\choose 2}=n^2\\ \implies&\frac {n(n-1)}2+\frac {(n+1)n}2=n^2\\ \implies&(1+2+\dots+(n-1))+(1+2+\dots+n)=n^2. \end{align}$$

Ahora, considera este cuadrado, coloreándolo de esta manera. Aquí estoy dando por$n=6$, se puede generalizar fácilmente, tomando$n$cuadrados de dos lados.

Aquí el número de cuadrados de colores es

$$\color{red}{6+5+4+3+2+1=\frac {6\times 7}2={6+1\choose 2}}.$$

Ahora colorea el resto de elementos de esta manera,

Entonces, aquí el número de cuadrados de colores es

$$\color{magenta}{5+4+3+2+1=\frac {5\times 6}2={6\choose 2}}.$$

Y ahora, resúmelos. lo que obtienes es

Aquí, el número de cuadrados coloreados es

$$\color{blue}{6\times 6=6^2\text{[total number of squares]}}$$

Entonces, en última instancia, lo que obtenemos es

$${\color{red}{\text{no. of red coloured squares}}}+{\color{magenta}{\text{no. of pink coloured squares}}}={\color{blue}{\text{total number of squares}}}$$ $$\implies\color{red}{6+1\choose 2}+\color{magenta}{6\choose 2}=\color{blue}{6^2}$$

Entonces, en general (tomando$n$cuadrados de dos lados), tenemos

$$\implies\color{red}{n+1\choose 2}+\color{magenta}{n\choose 2}=\color{blue}{n^2}$$

No veo ninguna explicación directa para esta identidad, pero puedo ver algo muy simple si aplica${n+1 \choose 2} = {n\choose2} + {n \choose 1}$.

$${n \choose 2} + {n \choose 2} + {n \choose 1} = 2{n \choose 2} + {n \choose 1} + n^2$$

$n^2$es el número de formas de seleccionar dos elementos de un conjunto de$n$, permitiendo duplicados y teniendo en cuenta el orden .$n \choose 2$es el número de formas de seleccionar dos no duplicados de$n$, pero sin tener en cuenta el orden. Como no tenemos en cuenta el orden, tenemos que duplicar para obtener el número total de formas de seleccionar dos elementos distintos. Entonces solo tenemos que ocuparnos del caso en el que seleccionamos el mismo elemento dos veces, que es$n\choose1$.

Dados n símbolos, la cantidad de formas en que se pueden llenar 2 locomotoras, lo que permite repeticiones, es n².

Esto se puede dividir en tres grupos. En primer lugar, pares C(n.2) de combinaciones básicas de 2. En segundo lugar, otro C(n,2) idéntico, pero pares invertidos más n dobles.

Para combinar los dos últimos grupos, observamos que C(n+1,2) cubre todo C(n,2) más n pares que incluyen el símbolo adicional. Si en cada uno de estos n pares reemplazamos el símbolo adicional por su compañero, el resultado es el siguiente.

Por lo tanto n² = C(n,2) + C(n+1,2)

Creo que estás buscando más de una prueba...

n!/(2!(n-2)!) + (n+1)!/(2!(n+1-2)!) = n!/(2!(n-2)!) + (n +1)!/(2!(n-1)!) = n(n-1)(n-2)!/(2!(n-2)!) + (n+1)(n)(n -1)!/(2!(n-1)!) = n(n-1)/(2!) + n(n+1)/(2!) = (n^2-n)/2 + (n^2 + n)/2 = 2n^2/2 = n^2

Aunque no es bueno seguirlo en este sitio, muestra los pasos para demostrar por qué funciona.