Pregunta básica: funciones de Green en mecánica cuántica

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Pregunta básica: funciones de Green en mecánica cuántica

jose

Estoy tratando de aprender sobre las funciones de Green como parte de mis estudios de posgrado y tengo una pregunta bastante básica sobre ellas:

En mis libros de texto de matemáticas y en muchos lugares en línea, la función básica de Green G para un operador diferencial lineal L se establece como

L GRAMO = d (X - X^{'})

$L G = \delta (x-x')$

Esto es bueno y fabuloso. Ahora estoy leyendo el texto de Economou sobre GF en física cuántica donde define las funciones de Green como soluciones de ED no homogénea del tipo:

[z - L (r)] GRAMO (r, r^{'}; z) = d (r - r^{'})

$[z - L(r)]G(r,r';z) = \delta (r-r')$

Dónde $z = \lambda + is$ y L es un operador diferencial hermitiano, lineal e independiente del tiempo que tiene funciones propias $\phi_n (r)$

L (r) ϕ_{norte} (r) = λ_{norte} ϕ_{norte} (r)

$L(r) \phi_n (r) = \lambda_n \phi_n (r)$

Donde estos $\lambda_n$ son los valores propios de L. ¿De dónde viene esta z en la segunda ecuación y cuál es el vínculo entre esta y la primera?

Editar: vea mi publicación a continuación para un nuevo par de preguntas.

eslavos

Además del texto de Econoumou, recomiendo los libros de Supriyo Datta, especialmente el más antiguo "Transporte electrónico en sistemas mesoscópicos".

Respuestas (2)

Pregunta básica: funciones de Green en mecánica cuántica

Además del texto de Econoumou, recomiendo los libros de Supriyo Datta, especialmente el más antiguo "Transporte electrónico en sistemas mesoscópicos".

eslavos · Answer 1

$z$ es la forma de frecuencia de la transformada de Fourier del eje del tiempo, aparece cuando resuelves la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

(i \frac{\partial}{\partial t} - L (X)) GRAMO (X, t; X^{'} t^{'}) = d (X - X^{'}) d (t - t^{'})

$\left (i \frac{\partial}{\partial t} - L(x) \right ) G(x,t; x't')= \delta (x-x') \delta(t-t')$

independiente del tiempo $L$ , $G$ es una función de diferencia $t-t'$ solamente, así que escribes:

GRAMO (X; X^{'}; z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {mi}^{i z (t - t^{'})} GRAMO (X, t; X^{'} t^{'}) d t

$G(x;x'; z) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i z (t-t')} G(x,t; x't') d t$ .

Para la función de Green retardada , $G^{R}(x,t; x,t')=0$ si $t<t'$ y la integral converge si $\rm{Im} \, z >0$ . Para la función Green avanzada $G^{A}(x,t; x,t')=0$ si $t>t'$ y la integral converge para $\rm{Im} \, z =s <0$ . Así el resolutivo $G(x;x';z)$ codifica convenientemente ambos :

{GRAMO}^{R / A} (X, t; X^{'}, t^{'}) = \underset{s \to \pm 0}{límite} \frac{1}{2 π} \int {mi}^{- i z (t - t^{'})} GRAMO (X; X^{'}; z) d z

$G^{R/A}(x,t; x',t') = \lim_{s \to \pm 0} \frac{1}{2\pi} \int e^{-i z(t-t')} G(x;x';z) d z$ con

+

$+$ firmar para los retrasados, y

-

$-$ señal para la función verde avanzada. Para sistemas finitos

G (z)

$G(z)$ es analítico en todo el plano excepto el conjunto discreto de singularidades en el eje real. Para un sistema infinito existe un corte en el eje real correspondiente a la parte continua del espectro.

Sustituyendo la transformada inversa en la ecuación da:

(z - L (X)) GRAMO (X; X^{'}; z) = d (X - X^{'})

$\left ( z - L(x) \right ) G(x;x';z) = \delta (x-x')$

como en el texto de Economou.

Bueno, esto parece seguir las diapositivas de la conferencia y el libro un poco más de cerca. En su primera ecuación, ¿no incluimos la parte derivada del tiempo como parte del operador L porque queremos mantener las partes espacial y temporal por separado? Básicamente, ¿debo entender que la única razón por la que z existe es para tener en cuenta la dependencia del tiempo? Por ejemplo, en la ecuación de Poisson solo tenemos que resolver $LG = \delta (x-x')$ , no hay z, porque no hay tiempo involucrado en la ecuación diferencial?? ¿Y esto a su vez conduce a que no haya valores propios?
Debe mantener las partes espacial y temporal por separado porque la función de Green depende de $\mathbf{r}$ y $t$ . Como tiene un sistema conservativo, solo depende de la diferencia de tiempo tt' y es fácil resolver la ecuación en el dominio de la frecuencia. $z$ . La ecuación de Poisson es para electrostática, por lo que obviamente no hay dependencia del tiempo.
@Josh "la única razón por la que z existe es para tener en cuenta la dependencia del tiempo" - sí. En el caso de Poisson, usa GF para obtener el potencial de una distribución de carga arbitraria, en el caso de Schrodinger, obtiene $x$ y $t$ dependencia de la función de onda para la condición inicial arbitraria.
El concepto es el mismo para ambos casos, pero $t$ agrega una dimensión exta con una simetría especial (invariancia de traducción de tiempo).
Muchas gracias, creo que finalmente estoy entendiendo esto. Así que para una partícula libre obtenemos el solvente $1/(z-L)$ que también es nuestra función de Green, cuando usamos la notación de Dirac $\sum_n |\phi_n><\phi_n| = 1$ insertamos este bit en el numerador y obtenemos $G = \frac{\sum_n |\phi_n><\phi_n|}{z - \lambda}$ . Para una partícula libre los valores propios son $k^2 /2m$ (Supongo que estamos trabajando en unidades donde $\hbar=1$ que a su vez podemos decir $z = E$ ) lo que significa que tenemos como resultado $G = \frac{1}{E - \frac{k^2}{2m}}$
@Josh ¡Felicitaciones! :) No olvides "aceptar" la respuesta que te resulte más útil.

qmecanico · Answer 2

$z\in\mathbb{C}$ es un parámetro complejo, o si lo desea, un parámetro espectral. Cuando $z\in\mathbb{C}\backslash {\rm Spec}(L)$ no está en el espectro del operador $L$ , entonces el operador $L-zI$ es invertible, y podemos formar el resolvente ,

(L - z I)^{- 1} .

$(L-zI)^{-1}.$ Así que Economou presenta un

1

$1$ -familia de parámetros

(G (z))_{z \in C}

$(G(z))_{z\in\mathbb{C}}$ de las funciones de Green. Cuando

z = 0

$z=0$ , la segunda ecuación en la pregunta (v1) se reduce a la primera ecuación (si ignoramos la convención de signos diferente y la notación diferente).

Gracias por la rápida respuesta. Entonces, si entiendo esto correctamente, el espectro de L es simplemente su conjunto de valores propios ( $\lambda_n$ en este caso). Cuando $z =/= \lambda_n$ entonces es posible invertir $L-z$ ¿Cuál se define como el solvente? Este resolvente es analítico siempre que z no esté en el espectro de L? ¿Cuándo/por qué estableceríamos z=0 y qué significa eso exactamente, solo un valor propio?
@Josh "¿Este solvente es analítico siempre que z no esté en el espectro de L?" - sí, lo es. "¿Cuándo estableceríamos z=0?", nunca si estamos resolviendo la ecuación de Shrodinger y no, por ejemplo, Poisson.

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