Promedio de las formas de onda del inductor

La notación es bastante confusa, pero después de estudiar las diapositivas, mi interpretación es:

des la fracción de tiempo "encendido" durante el ciclo. d'es la fracción de tiempo de inactividad durante el ciclo. Promediado a lo largo del ciclo, V _L será aproximadamente igual al voltaje de entrada V _G durante duna fracción del tiempo y será aproximadamente igual al voltaje de salida V durante d'una fracción del tiempo. Entonces el voltaje promedio será d*V _G + d'*V.

Dado que todo es una función del tiempo (esperemos que cambie lentamente), V _G y V se reemplazan por promedios durante el ciclo. Y dy d'se sustituyen por d(t)y d'(t). (Así es como el modelo conserva los componentes de baja frecuencia y elimina los componentes de alta frecuencia). Esto da el lado derecho de la ecuación que está viendo. Debido a que estos cambian muy levemente durante un ciclo, no es una igualdad exacta sino una igualdad aproximada, por lo que se usa el símbolo ≈.

Tenga en cuenta que en las integrales, dse usa por su significado diferencial, mientras que en las otras ecuaciones dindica la fracción PWM, lo que hace que las cosas sean más difíciles de entender. Y d'no es la derivada de dpero 1-d.

Edite para incluir parte de la discusión de comentarios:

Considere un ejemplo de la vida real, como una fuente de alimentación donde el voltaje de entrada Vg(t) es 170V + ondulación de 60 Hz + ondulación de conmutación de 30 kHz. Puede simplificar esto haciendo que Vg sea constante a 170 V (que es lo que hace el capítulo 2). O puede hacer una simplificación más realista promediando la ondulación y obteniendo Vg(t) = 170 V + 60 Hz de ondulación (que es lo que hace el capítulo 7).

Una parte complicada es que al aproximar la integral en la pregunta original, se supone que Vg(t) es aproximadamente constante durante el período de tiempo de conmutación. Pero después de ese punto en el análisis, trata los promedios móviles como funciones de t, no como constantes.

Qué tal esto:

Observe que hay una ligera variación en la notación del resultado.

Editar para aclaración y otro punto:

De las ecuaciones anteriores obtenemos:

$$\begin{equation} \ <v_{L}(t) > _{T_{s}} = <v_{g}(t) > _{T_{s}} + <v(t) > _{T_{s}} \end{equation}$$

Esta ecuación implica que los contenidos son continuos durante todo el período. Ahora todo el mundo está de acuerdo en esto, ¿verdad? Continuamos la ecuación y obtenemos:

$$\begin{equation} \ <v_{g}(t) > _{T_{s}} = d(t) <v_{g}(t) > _{dT_{s}} + d'(t) <v_{g}(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \ <v(t) > _{T_{s}} = d(t) <v(t) > _{dT_{s}} + d'(t) <v(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

pero (como se puede ver en el gráfico) asumimos esto:

$$\begin{equation} \ v_{g}(t) = 0 \ (d<t<T_{s}) \\ \ v(t) = 0 \ (0<t<d) \end{equation}$$

De este modo,

$$\begin{equation} \ <v_{g}(t) > _{T_{s}} = d(t) <v_{g}(t) > _{dT_{s}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \ <v(t) > _{T_{s}} = d'(t) <v(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

Esto tiene sentido porque:

$$\begin{equation} \ \frac{d(t)}{T_{s}} < 1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \ \frac{d'(t)}{T_{s}} < 1 \end{equation}$$

El promedio de esas señales tomadas durante un tiempo más largo dentro de Ts caería porque son cero. El promedio máximo ocurre dentro de las zonas que son distintas de cero.

Por lo tanto, lo que finalmente obtenemos es:

$$\begin{equation} \ <v_{L}(t) > _{T_{s}} = d(t) <v_{g}(t) > _{dT_{s}} + d'(t) <v(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

¿Cuál no es el resultado que se encuentra en las diapositivas, pero no estoy seguro de dónde cometí un error en las matemáticas? ¿Quizás las diapositivas solo tienen un error menor en la notación? (Sucede)

Prefiero analizar usando la función de almacenamiento de energía E=1/2LI^2 donde V1*dt1=V2*dt2 [voltio-segundo] en modo continuo.

Tal vez el libro lo explique mejor ,

También tuve dificultades para seguir su notación.

Te estás enfocando en las matemáticas en lugar de darte cuenta de por qué las matemáticas deben funcionar.

Para cualquier conmutador que funcione en modo continuo, el área del ciclo de ENCENDIDO debe ser igual al ciclo de APAGADO. El área del rectángulo amarillo debe ser igual al rectángulo naranja para que el conmutador esté en modo de estado estable.

Durante el tiempo de ENCENDIDO, la corriente proviene de la fuente, pero durante el tiempo de APAGADO, la corriente proviene del inductor que polariza directamente el diodo.$I_{MAX}$y$I_{MIN}$debe cumplir o cambios de voltaje del condensador. Es por eso que los conmutadores requieren una corriente mínima.

Wikipedia - convertidor dólar

A partir de esa imagen, es importante notar que < v_g(t) > es la línea punteada, no la que tiene pendiente. Lo que está haciendo es calcular el promedio del voltaje del inductor durante un ciclo de conmutación. Entonces, aunque los promedios cambien en el tiempo, para un período de tiempo específico, el promedio anotado por < v_g(t) > es constante porque se define de esa manera.

En otras palabras, arruinaste las notaciones. En la integral que hiciste tú mismo a mano, no deberías haber usado los promedios del ciclo de sobreconmutación < v_g(tau) > y < v(tau) > sino simplemente v_g(tau) y v(tau). Esto se debe a que aún no conoce los promedios para ese período de tiempo, pero solo los está calculando. Se definen como la respuesta de esas integrales de tiempo. < v_g(t) > para el tiempo de encendido y < v(t) > para el tiempo de apagado.

Además, el interal derivado por usted solo funciona si se calcula desde el comienzo del ciclo de cambio, pero la ecuación que está en el lado izquierdo siempre funciona, pero por supuesto, lo sabía y simplemente lo calculó desde el comienzo del ciclo de cambio por conveniencia.

Definición:

$$\begin{align} d(\tau) &= 1\text{ for } t\leq \tau \leq t+dT_z\\ &= 0 \text{ for } t+dT_s < \tau \leq t+T_s \end{align}$$

y

$$\begin{align} d'(\tau) &= 0\text{ for } t\leq \tau \leq t+dT_z\\ &= 1 \text{ for } t+dT_s < \tau \leq t+T_s \end{align}$$

Entonces

$$\begin{align} \left< v_L(t)\right>_{T_s}&= \frac{1}{T_s}\int_t^{t+T_s}v_L(\tau)d\tau =\\ &= \frac{1}{T_s} \left[1 \times\int_t^{t+dT_s} v_g(\tau)d\tau +0\times\int_{t+dT_s}^{t+T_s} v_g(\tau)d\tau+\\ + 0 \times\int_t^{t+dT_s} v(\tau)d\tau +1\times\int_{t+dT_s}^{t+T_s} v(\tau)d\tau \right] \end{align}$$ Aplicando la inversa de la propiedad distributiva y sabiendo que $$\int_t^{t+dT_s} x(\tau)d\tau + \int_{t+dT_s}^{t+T_s} x(\tau)d\tau = \int_t^{t+T_s} x(\tau)d\tau$$ entonces, $$\begin{align} \left< v_L(t)\right>_{T_s}&= \frac{1}{T_s}\left[d(\tau)\times\int_t^{t+T_s}v_g(\tau)d\tau+d'(\tau)\int_t^{t+T_s}v(\tau)d\tau \right]\\ &=d(\tau)\times\frac{1}{T_s}\int_t^{t+T_s}v_g(\tau)d\tau+d'(\tau)\times\frac{1}{T_s}\int_t^{t+T_s}v(\tau)d\tau\\ &= d(\tau)\times\left< v_g(t)\right>_{T_s}+d'(\tau)\times\left< v(t)\right>_{T_s} \end{align}$$ obteniendo así el resultado esperado.