Vector z⃗z→\vec{z} y su transpuesta conjugada v⃗⊤¯¯¯¯¯¯v→⊤¯\overline{\vec{v}^\top} - ¿es lo mismo que |z⟩|z⟩\left |z\right\rangle y ⟨z|⟨z|\left\langle z \right|

De wiki :

Para un espacio vectorial de dimensión finita, utilizando una base ortonormal fija, el producto interno se puede escribir como una multiplicación matricial de un vector de fila con un vector de columna:

$\langle A | B \rangle = A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + \cdots + A_N^* B_N = \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}$

En base a esto, los sujetadores y kets se pueden definir como:

$\langle A | = \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}$

$| B \rangle = \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}$

y entonces se entiende que un sostén al lado de un ket implica multiplicación de matrices.

La transpuesta conjugada (también llamada ''conjugado hermitiano'') de un sostén es el ket correspondiente y viceversa:

$\langle A |^\dagger = |A \rangle, \quad |A \rangle^\dagger = \langle A |$

porque si uno empieza por el sostén

$\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix},$luego realiza una conjugación compleja, y luego una transposición de matriz, uno termina con el ket

$\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_N \end{pmatrix}$

En los comentarios Alfred plantea la noción del espacio dual. De hecho, si intenta leer los principios de QM de Dirac, encontrará que comienza con espacio dual.

En notación de Dirac$|z\rangle$es un elemento de un espacio vectorial abstracto$\mathcal{H}$. Entonces, hay una noción de espacio dual: el espacio dual$\mathcal{H}^*$es el espacio de todos los funcionales lineales (continuos) en$\mathcal{H}$. Aquí, la continuidad (así como la topología) se requiere solo en un espacio de dimensión infinita, en el caso de dimensión finita con una topología razonable, se garantiza la continuidad. Ahora, la funcional lineal es solo una función lineal.$v:\mathcal{H}\to\mathbb{C}$. Toma un$|z\rangle\in\mathcal{H}$al numero$v(|z\rangle)\in\mathbb{C}$y tu tienes

$$v(\alpha|z\rangle+\beta|x\rangle)=\alpha v(|z\rangle)+\beta v(|x\rangle).$$

Ahora, la notación de Dirac es escribir$\langle v|z \rangle$en lugar de$v(|z\rangle)$. Eso es,$|z\rangle\in\mathcal{H}$mientras$\langle v|\in\mathcal{H}^*$.

Entonces se hace una suposición. Hay un producto interno hermitiano en$\mathcal{H}$. Es decir, para cualquier par de vectores$|x\rangle,|y\rangle\in\mathcal{H}$tenemos un numero$\left(\alpha|x\rangle,\beta|y\rangle\right)=\bar{\alpha}\beta\left(|x\rangle,|y\rangle\right)$. (Precaución: los matemáticos normalmente colocan la barra arriba$\beta$). Este producto interno crea un isomorfismo entre$\mathcal{H}$y$\mathcal{H}^*$. Es decir, para cualquier vector$|x\rangle\in\mathcal{H}$ definir el funcional$\langle x|\in\mathcal{H}^*$por su acción sobre los vectores:

$$\langle x|z\rangle:=\left(|x\rangle,|z\rangle\right).$$

En esta formulación$\dagger$, conjugado hermitiano, se define para los operadores:

$$\left(|x\rangle,A|y\rangle\right)=\left(A^\dagger|x\rangle,|y\rangle\right).$$

Para vectores, se define generalmente en notación matricial como el complejo conjugado de la transpuesta. De lo escrito a continuación, está claro que es natural extender$\dagger$a este formalismo como$\dagger:\mathcal{H}\to\mathcal{H}^*$,$|z\rangle^\dagger=\langle z|$.

En el espacio de dimensión finita puedes elegir una base$|b_i\rangle$e identificar un vector con sus coordenadas:$|z\rangle=z^i|b_i\rangle$. No hay razón para no organizarlos en una columna.$Z$. Entonces puedes definir una base dual$\langle \beta^j|$en$\mathcal{H}^*$por

$$\langle \beta^j | b_i\rangle=\delta^j_i\\ \beta^j(|b_i\rangle)=\delta^j_i$$ (la última línea está en notación 'estándar', para recordarle que aquí no hay un producto escalar involucrado). Entonces se puede identificar un funcional con sus coordenadas $\langle a|=a_j\langle \beta^j|$. Si los ordenamos en una fila $A$, entonces se puede comprobar que el número $a(|z\rangle)=\langle a|z \rangle$es dado por $AZ$.

Entonces, puedes pensar en las filas a partir de los elementos del espacio dual.$\mathcal{H}^*$(e identificarlos con sujetadores), y columnas a partir de los elementos del espacio$\mathcal{H}$(e identificarlos con kets). ¿Qué pasa con la transposición conjugada? Si ahora dices que hay un producto interno hermitiano en tu espacio, y$|b_i\rangle$es una base ortonormal , entonces este producto por dos vectores representados por columnas$X$y$Y$es dado por$X^\dagger Y$, dónde$\dagger$es la transpuesta conjugada habitual. Entonces es fácil ver que el mencionado isomorfismo$\mathcal{H}\to\mathcal{H}^*$Es provisto por$\dagger$tomando columnas a filas.

(Esto no es matemáticamente riguroso, partiendo del hecho de que en realidad en el caso hermitiano se llama anti-isomorfismo, etc.)