Notación de Dirac: traza del producto de matrices de densidad (bipartitas)

Question

Notación de Dirac: traza del producto de matrices de densidad (bipartitas)

Física
notación
espacio de hilbert
cálculo tensorial
operador de densidad
mecánica cuántica

Fiesta de la columna vertebral

Me estoy confundiendo con la notación de Dirac. Supongamos que tengo los siguientes dos objetos.

ρ = \sum_{k} {pag}_{k} (ρ_{A} \otimes ρ_{B}) = \sum_{k} {pag}_{k} | k ⟩ ⟨ k | \otimes | k ⟩ ⟨ k |,

$\rho = \sum_k p_k (\rho_A \otimes \rho_B) = \sum_k p_k |k \rangle \langle k | \otimes |k\rangle \langle k | ,$

A = \sum_{i j} | i i ⟩ ⟨ j j | = \sum_{i j} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$A = \sum_{ij} |ii \rangle \langle jj | = \sum_{ij} |i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j | .$

Aquí $\rho$ es una matriz de densidad separable, pero $A$ no es exactamente una matriz de densidad (falta el prefactor).

Quiero escribir lo que $A\rho$ es. ¿Los escribo todos "uno al lado del otro"?

A ρ \to \sum_{i j k} {pag}_{k} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j | k ⟩ ⟨ k | \otimes | k ⟩ ⟨ k |

$A\rho \rightarrow \sum_{ijk} p_k |i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j | k \rangle \langle k | \otimes |k\rangle \langle k |$

¡Esto no tiene sentido, ahora hay dos productos Kronecker! Entonces, ¿quizás así?

A ρ \to \sum_{i j k} {pag}_{k} | i ⟩ ⟨ j | k ⟩ ⟨ k | \otimes | i ⟩ ⟨ j | k ⟩ ⟨ k | = \sum_{i j} {pag}_{j} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$A\rho \rightarrow \sum_{ijk} p_k |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | \otimes |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | = \sum_{ij} p_j |i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j |$

Esto me parece sospechoso, pero sigamos. En última instancia, quiero tomar el rastro:

t r A ρ = \sum_{i j} {pag}_{j} t r (| i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |) = \sum_{i j} {pag}_{j} d_{i j} = 1

$tr A\rho = \sum_{ij} p_j tr \left(|i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j | \right) = \sum_{ij} p_j \delta_{ij} = 1$

Usé el hecho de que el rastro del producto Kronecker es un producto de rastros. Esto parece incorrecto. no me gusta que tengo un $1$ , porque $A$ no era una matriz de densidad en primer lugar. Dividirlo por un factor lo convertiría en uno, pero entonces la traza del producto de dos matrices de densidad no sería la unidad, como debería ser.

¿Cuál es el error que estoy cometiendo?

Respuestas (1)

Notación de Dirac: traza del producto de matrices de densidad (bipartitas)

Emilio Pisanty · Answer 1

En cuanto a la notación, puede usar cualquiera de

\begin{aligned} A ρ & = \sum_{i j k} {pag}_{k} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |) (| k ⟩ ⟨ k | \otimes | k ⟩ ⟨ k |) \\ = \sum_{i j k} {pag}_{k} | i ⟩ ⟨ j | k ⟩ ⟨ k | \otimes | i ⟩ ⟨ j | k ⟩ ⟨ k | . \end{aligned}

$\begin{align} A\rho & = \sum_{ijk} p_k \Big(|i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j |\Big) \Big(| k \rangle \langle k | \otimes |k\rangle \langle k |\Big) \\ & = \sum_{ijk} p_k |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | \otimes |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | . \end{align}$ Como bien se nota, aquí el

⟨ j | k ⟩

$⟨j|k⟩$ dar

δ_{j k}

$\delta_{jk}$ 's, por lo que la suma termina

k

$k$ se va:

\begin{aligned} A ρ & = \sum_{i j} {pag}_{j} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j | . \end{aligned}

$\begin{align} A\rho & = \sum_{ij} p_j |i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j |. \end{align}$ El resto de sus manipulaciones formales también están bien:

T r (A ρ) = \sum_{i j} {pag}_{j} T r (| i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |) = \sum_{i j} {pag}_{j} d_{i j} = 1.

$\mathrm{Tr} \left(A\rho\right) = \sum_{ij} p_j \mathrm{Tr} \Big(|i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j | \Big) = \sum_{ij} p_j \delta_{ij} = 1.$

Esto parece vagamente sospechoso, pero es razonable debido a la estructura especial de $A$ y $\rho$ . No es una contradicción porque no hay nada que requiera que el producto de matrices de densidad sea algo así como una matriz de densidad: si $\rho$ y $\sigma$ no viajes, $\rho\sigma$ ni siquiera es hermitiano, y mucho menos semidefinido positivo; si quieres un ejemplo de matrices de densidad cuyo producto tiene traza $≠1$ , intentar $\sigma^2$ para

σ = (\begin{matrix} 1 / 2 & 0 \\ 0 & 1 / 2 \end{matrix}) .

$\sigma=\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix}.$

Eso es todo lo que siempre quise, todo lo que siempre necesité, ¡gracias!

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Emilio Pisanty

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